Reelles Vektorbündel/Zusammenhang/Krümmungsoperator/Definition

Krümmungsoperator

Es sei ${}M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$. Dann nennt man zu differenzierbaren Vektorfeldern ${}V$ und ${}W$ auf ${}M$ die Abbildung

$C^{2}(E)\longrightarrow C^{0}(E),\,s\longmapsto \nabla _{V}\nabla _{W}(s)-\nabla _{W}\nabla _{V}(s)-\nabla _{[V,W]}(s),$

den Krümmungsoperator zu ${}V$ und ${}W$. Er wird mit ${}R(V,W)$ bezeichnet.