Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Textabschnitt

Die Eleganz des totalen Differentials wird in der folgenden allgemeinen Version der Kettenregel deutlich.

Satz

Es seien ${}V,\,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ und ${}D\subseteq W$ offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in ${}P\in G$ und ${}\psi$ in ${}\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist.

Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

Beweis

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir ${}Q:=\varphi (P)$ setzen)

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

und

${}\psi (Q+w)=\psi (Q)+M(w)+\Vert {w}\Vert s(w)\,$

mit linearen Abbildungen ${}L\colon V\rightarrow W$ und ${}M\colon W\rightarrow U$, und mit in ${}0$ stetigen Funktionen ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ und ${}s\colon U{\left(0,\delta '\right)}\rightarrow U$, die beide in ${}0$ den Wert ${}0$ annehmen. Damit gilt

${}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(P+v)&=\psi (\varphi (P+v))\\&=\psi {\left(\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\right)}\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v))+M(\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert M(r(v))+\Vert {\Vert {v}\Vert L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert {\left(M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\right)}.\,\end{aligned}}$

Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für

${}w=L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für ${}v\neq 0$. Der Ausdruck

$t(v):=M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\,$

ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand ${}M(r(v))$ ist in ${}v=0$ stetig und hat dort auch den Wert ${}0$. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der ${}\Vert {-}\Vert$-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da ${}L$ auf der kompakten Einheitssphäre nach Fakt beschränkt ist und da ${}r$ in ${}0$ stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber ${}L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)$ hat für ${}v\rightarrow 0$ den Grenzwert ${}0$. Damit ist auch ${}s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))$ in ${}0$ stetig und hat dort den Grenzwert ${}0$.

$\Box$

Im folgenden Beispiel verwenden wir, dass man das totale Differential unter recht schwachen Bedingungen mit der Jacobi-Matrix beschreiben kann, was wir in der nächsten Vorlesung begründen werden.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$\varphi \colon {\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 1-{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}},$

aus Beispiel in einem beliebigen Punkt ${}P=(x,y)$. Wir schreiben die Abbildung als Hintereinanderschaltung von

$(x,y)\longmapsto 1-x^{2}-y^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,u\longmapsto 1-{\sqrt {u}}.$

Die erste Funktion ist überall total differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

$\left(-2x,\,-2y\right)$

und die zweite Funktion ist für ${}u>0$ differenzierbar mit der Ableitung ${}{\frac {-1}{2{\sqrt {u}}}}$. Die Gesamtabbildung ist somit nach der Kettenregel ebenfalls total differenzierbar mit dem totalen Differential

${\frac {-1}{2{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\left(-2x,\,-2y\right)=\left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}},\,{\frac {y}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}\right)\,.$

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ in ${}P$ differenzierbare Abbildungen.

Dann ist die Produktabbildung

$f\cdot \varphi \colon G\longrightarrow W$

in ${}P$ differenzierbar mit

${}\left(D(f\cdot \varphi )\right)_{P}=f(P)\cdot \left(D\varphi \right)_{P}+\left(Df\right)_{P}\cdot \varphi (P)\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Das folgende Beispiel illustriert, dass das totale Differential unabhängig von der Wahl einer Basis ist, die partiellen Ableitungen aber nicht.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung ${}f\colon {\mathbb {K} }^{3}\rightarrow {\mathbb {K} }$, die durch

$(x,y,z)\longmapsto 2xy^{2}+x^{2}z^{3}+z^{2}$

gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}},\,{\frac {\partial f}{\partial y}},\,{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{(x,y,z)}=\left(2y^{2}+2xz^{3},\,4xy,\,3x^{2}z^{2}+2z\right)\,.$

Wir werden in der nächsten Vorlesung sehen, dass diese Abbildung in jedem Punkt total differenzierbar ist, und dass die Jacobi-Matrix das totale Differential beschreibt.

Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene

$E\subset {\mathbb {K} }^{3},\,E={\left\{(x,y,z)\mid 3x+2y-5z=0\right\}}$

interessiert sind. ${}E$ ist also der Kern der linearen Abbildung

$L\colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y,z)\longmapsto 3x+2y-5z.$

Als Kern ist ${}E$ selbst ein (zweidimensionaler) Vektorraum. Die Einschränkung von ${}f$ auf die Ebene ergibt also die Abbildung

${\tilde {f}}=f{|}_{E}\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Diese Abbildung kann man als die Komposition ${}E\subset {\mathbb {K} }^{3}\rightarrow {\mathbb {K} }$ auffassen und diese ist nach der Kettenregel differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von ${}E$ in ${}{\mathbb {K} }^{3}$ mit ${}N$ bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt ${}P\in E$ gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung

$\left(D{\tilde {f}}\right)_{P}=\left(Df\right)_{P}\circ N\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.

Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung ${}f{|}_{E}\colon E\rightarrow {\mathbb {K} }$ zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf ${}E$ gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von ${}E$ zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine „beste Wahl“, und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.

Eine Basis von ${}E$ ist beispielsweise durch ${}v_{1}=(0,5,2)$ und ${}v_{2}=(5,0,3)$ gegeben, und eine weitere durch ${}w_{1}=(1,1,1)$ und ${}w_{2}=(2,-3,0)$. Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen ${}{\mathbb {K} }^{2}\rightarrow E$ und somit numerische Beschreibungen der Abbildung ${}{\mathbb {K} }^{2}\cong E\rightarrow {\mathbb {K} }$, womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.

In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung

$(s,t)\longmapsto sv_{1}+tv_{2}=s(0,5,2)+t(5,0,3)=(5t,5s,2s+3t)$

und dieser Ausdruck wird durch ${}f$ abgebildet auf

${}{\begin{aligned}2(5t)(5s)^{2}+(5t)^{2}(2s+3t)^{3}+(2s+3t)^{2}&=250ts^{2}+25t^{2}(8s^{3}+36s^{2}t+54st^{2}+27t^{3})+4s^{2}+9t^{2}+12st\\&=250ts^{2}+200s^{3}t^{2}+900s^{2}t^{3}+1350st^{4}+675t^{5}+4s^{2}+9t^{2}+12st.\,\end{aligned}}$

Die partiellen Ableitungen dieser Komposition (nennen wir sie ${}g$) bezüglich dieser Basis sind gegeben durch

$\partial g/\partial s=500ts+600s^{2}t^{2}+1800st^{3}+1350t^{4}+8s+12t\,$

und

$\partial g/\partial t=250s^{2}+400s^{3}t+2700s^{2}t^{2}+5400st^{3}+3375t^{4}+18t+12s\,.$

In der zweiten Basis ${}w_{1}=(1,1,1)$ und ${}w_{2}=(2,-3,0)$ ist die Identifikation gegeben durch

$(r,u)\longmapsto rw_{1}+uw_{2}=r(1,1,1)+u(2,-3,0)=(r+2u,r-3u,r)$

und dieser Ausdruck wird unter ${}f$ abgebildet auf

${}{\begin{aligned}2(r+2u)(r-3u)^{2}+(r+2u)^{2}r^{3}+r^{2}&=2r^{3}+4r^{2}u-12r^{2}u-24ru^{2}\\&=2r^{3}-8r^{2}u-6ru^{2}+36u^{3}+r^{5}+4r^{4}u.\,\end{aligned}}$

Die partiellen Ableitungen der Komposition (nennen wir sie ${}h$) bezüglich dieser Basis sind

$\partial h/\partial r=6r^{2}-16ru-6u^{2}+5r^{4}+16r^{3}u+12r^{2}u^{2}+2r\,$

und

${}\partial h/\partial u=-8r^{2}-12ru+108u^{2}+4r^{4}+8r^{3}u\,.$

Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt.