Es sei
-
eine
stetige Funktion
und
-

eine Unterteilung des Intervalls durch
Zwischenpunkte
(in
Teilintervalle).
Dazu gehört die
Treppenfunktion,
die auf
den konstanten Wert
annimmt. Wenn
monoton wachsend
ist, so ist dies eine
untere Treppenfunktion,
und das zugehörige
Treppenintegral
ist eine
untere Schranke
für das
bestimmte Integral
. Das Treppenintegral ist durch
-

gegeben. Wir fragen uns, für welche Intervallunterteilung mit
Teilpunkten das Treppenintegral
maximal
oder
minimal
wird. Dazu kann man die differentiellen Methoden zur Bestimmung von Extrema für Funktionen in mehreren Variablen verwenden
(nämlich den variablen Unterteilungspunkten
),
vorausgesetzt, dass
(hinreichend oft)
differenzierbar
(in einer Variablen)
ist. In diesem Fall sind die
partiellen Ableitungen
von
gleich
-

für
(wobei
und
zu lesen ist).
Als Definitionsbereich von
kann man die offene Menge
-

oder aber
wählen. Es ist im Allgemeinen schwierig, die kritischen Punkte dieser Abbildung zu bestimmen.