Für
heißt
-
die Kosinusreihe und
-
die Sinusreihe zu .
Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
-
heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.
Die Funktionen
-
und
-
besitzen für
folgende Eigenschaften.
- Für
ist
-
Speziell gilt die eulersche Formel
-
- Es ist
und .
- Es ist[1]
und .
- Es ist
-
und
-
- Es gelten die Additionstheoreme
-
und
-
- Es gilt
-
(1). Aufgrund von
Fakt
gilt
-
sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach
Aufgabe[2]
und
Fakt (1)
gilt
(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Nach (4) ist
Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf
und aufgrund von (2) ergibt sich
-
Für reelle sind
und
wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles das Paar ein Punkt auf dem Einheitskreis ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als schreiben lässt, wobei man als Winkel
(im Bogenmaß)
interpretieren kann. Dabei tritt die Periode auf, wobei wir die Kreiszahl eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.
- ↑ Die Kosinusfunktion ist also eine
gerade Funktion
und die Sinusfunktion ist eine
ungerade Funktion.
- ↑ Dies ist ein Spezialfall der Aussage, dass man absolut konvergente Reihen beliebig sortieren darf, was wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen werden.