Trigonometrische Reihen/C/Einführung/Textabschnitt


Für heißt

die Kosinusreihe und

die Sinusreihe zu .

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.



Die Funktionen

und

besitzen für folgende Eigenschaften.

  1. Für ist

    Speziell gilt die eulersche Formel

  2. Es ist und .
  3. Es ist[1] und .
  4. Es ist

    und

  5. Es gelten die Additionstheoreme

    und

  6. Es gilt

(1). Aufgrund von Fakt gilt

sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe[2] und Fakt  (1) gilt


(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Nach (4) ist

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf und aufgrund von (2) ergibt sich



Für reelle sind und wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles das Paar ein Punkt auf dem Einheitskreis ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als schreiben lässt, wobei man als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode auf, wobei wir die Kreiszahl eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.

  1. Die Kosinusfunktion ist also eine gerade Funktion und die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion.
  2. Dies ist ein Spezialfall der Aussage, dass man absolut konvergente Reihen beliebig sortieren darf, was wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen werden.