Tschebyschow-Abschätzung/Einführung/Textabschnitt

Für einen endlichen Maßraum ${}M$ und eine integrierbare Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

ist ${}\int _{M}fd\mu$ eine reelle Zahl. Bei ${}\mu (M)\in \mathbb {R} _{+}$ nennt man den Quotienten ${}h={\frac {\int _{M}fd\mu }{\mu (M)}}$ den Durchschnittswert oder Mittelwert der Funktion ${}f$, da ja ${}\int _{M}fd\mu$ den gleichen Wert hat wie das Integral

${}\int _{M}hd\mu =h\cdot \mu (M)\,$

zur konstanten Funktion ${}h$.

Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow (1821-1894)

Die folgende Aussage nennt man Tschebyschow-Abschätzung oder Tschebyschow-Ungleichung.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

Beweis

Es sei ${}T={\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$. Dann ist

${}T\times [0,a]\subseteq S(f)\,,$

also

${}a\cdot \mu (T)=(\mu \otimes \lambda ^{1})(T\times [0,a])\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(S(f))=\int _{M}f\,d\mu \,.$

$\Box$