Varietät/Glatter Punkt/Schnittverhalten/Dimension/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Diagonaleinbettung

$V\longrightarrow V\times V,\,Q\longmapsto (Q,Q),$

das Bild sei mit ${}\Delta$ bezeichnet. Es liegt dadurch nach Fakt ein Isomorphismus (insbesondere ein Homöomorphismus) ${}V\cong \Delta$ von Varietäten vor. Unter diesem Isomorphismus entsprechen sich die Mengen ${}Y\cap Z$ und ${}\Delta \cap (Y\times Z)$, wobei rechts das Produkt ${}Y\times Z$ in natürlicher Weise als abgeschlossene Untervarietät von ${}V\times V$ aufgefasst wird. Damit entsprechen sich auch die Komponenten des Schnittes ${}Y\cap Z$ im Punkt ${}P$ und die Komponenten des Schnittes ${}\Delta \cap (Y\times Z)$ im Punkt ${}(P,P)$. Nach Fakt besitzt ${}Y\times Z$ die Dimension ${}r+s$. Nach Fakt wird ${}\Delta$ im Punkt ${}(P,P)$ lokal durch ${}n$ Funktionen beschrieben. Nach Fakt ist daher

${}\operatorname {dim} _{(P,P)}{\left(\Delta \cap Y\times Z\right)}\geq r+s-n\,$

Zur bewiesenen Aussage