Vektorräume/Lineare Abbildung/Surjektiv und Restklassenraum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden Fakt auf ${}Q=V/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion ${}q\colon V\rightarrow V/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert eine lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon V/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow W$

mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, die surjektiv ist. Sei ${}[x]\in V/\operatorname {kern} \varphi$ und ${}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist

${}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=0\,,$

also ${}x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist ${}[x]=0$ in ${}V/\operatorname {kern} \varphi$, d.h. der Kern von ${}{\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage