Vektorraum/Affiner Raum/Erzeugendensystem/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem für den Vektorraum ${}V$. Dann lässt sich jeder Vektor ${}v\in V$ als eine Linearkombination

${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,$

darstellen. Mit

${}a_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,$

kann man

${}v=a_{0}0+\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,$

schreiben, und dies ist eine baryzentrische Darstellung von ${}v$ mit den Punkten ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}$.

Wenn umgekehrt ein affines Erzeugendensystem vorliegt, so lässt sich jeder Vektor als baryzentrische Kombination

${}v=a_{0}0+\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,$

mit ${}\sum _{i=0}^{n}a_{i}=0$ schreiben. Interpretiert man diese Gleichung mit dem Aufpunkt ${}0$, so erhält man direkt

${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {0v_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,.$

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