Es sei
fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass eine Linearform auf dem Dualraum ist. Offenbar ist eine Abbildung von nach . Die Additivität ergibt sich aus
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wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels
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Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien
.
Es ist die Gleichheit
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zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei
beliebig. Dann folgt die Additivität aus
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Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus
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Zum Nachweis der Injektivität sei
mit
gegeben. D.h. für alle Linearformen
ist
.
Dann ist aber nach
Fakt
schon
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und nach
dem Injektivitätskriterium
ist injektiv.
Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus
Fakt.