Es sei
fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass
eine Linearform auf dem Dualraum
ist. Offenbar ist
eine Abbildung von
nach
. Die Additivität ergibt sich aus
-

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels
-

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien
.
Es ist die Gleichheit
-

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in
ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei
beliebig. Dann folgt die Additivität aus
-

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus
-

Zum Nachweis der Injektivität sei
mit
gegeben. D.h. für alle Linearformen
ist
.
Dann ist aber nach
Fakt
schon
-

und nach
dem Injektivitätskriterium
ist
injektiv.
Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus
Fakt.