Vektorraum/C/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Spektralsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst eine Orthonormalbasis von , wobei die Eigenvektoren zu seien. Die beschreibende Matrix ist dann eine Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die Eigenwerte sind. Nach Fakt wird der adjungierte Endomorphismus durch die konjugiert-transponierte Matrix beschrieben. Daher ist diese ebenfalls eine Diagonalmatrix und damit mit vertauschbar. Also ist normal.

Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über die Dimension von . Sei also normal. Der eindimensionale Fall ist klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es einen Eigenvektor von , den wir als normiert annehmen können. Nach Fakt  (2) ist auch ein Eigenvektor zu . Daraus folgt mit Fakt, dass invariant unter ist. Die Einschränkung von auf ist wieder normal und die Induktionsvoraussetzung liefert die Behauptung.