Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt/Beweis

Beweis

Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Es sei (2) erfüllt, d.h. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach Fakt kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Es sei (3) erfüllt, d.h. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach Fakt nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.

Zur bewiesenen Aussage