Vektorraum/Fahne/Invariant unter Endomorphismus/Aufgabe/Lösung

Wir wählen eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$

für alle ${}i$, was nach dem Basisergänzungssatz möglich ist. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung ${}\varphi$, die durch

${}\varphi (v_{i}):=v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{i-1}+v_{i}\,$

festgelegt ist. Offensichtlich ist dazu die vorgegebene Fahne ${}\varphi$-invariant. Es sei nun eine beliebige ${}\varphi$-invariante Fahne

${}0\subset W_{1}\subset W_{2}\subset \ldots \subset W_{n-1}\subset W_{n}=V\,$

gegeben. Es ist zu zeigen, dass diese mit der vorgegebenen Fahne übereinstimmt. Dies beweisen wir durch Induktion über ${}k$, wobei der Induktionsanfang wegen ${}V_{0}=0=W_{0}$ klar ist. Es sei also als Induktionsvoraussetzung die Übereinstimmungen ${}V_{1}=W_{1}$, ${}V_{2}=W_{2}$${},\ldots ,$ ${}V_{k}=W_{k}$ schon bekannt. Es ist ${}V_{k+1}=W_{k+1}$ zu zeigen. Der Raum ${}W_{k+1}$ besitzt die Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{k},w$ mit

${}w=\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\,$

und wegen der Invarianz von ${}W_{k+1}$ unter ${}\varphi$ ist einerseits

${}\varphi (w)=\sum _{j=1}^{k}b_{j}v_{j}+cw=\sum _{j=1}^{k}{\left(b_{j}+ca_{j}\right)}v_{j}+\sum _{j=k+1}^{n}ca_{j}v_{j}\,$

(mit $c\neq 0$ wegen der Bijektivität) und andererseits

${}{\begin{aligned}\varphi (w)&=\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\left(v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=j}^{n}a_{i}\right)}v_{j}.\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich für die Vektoren ${}v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ liefert

${}\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}=ca_{k+1}\,,$

${}\sum _{i=k+2}^{n}a_{i}=ca_{k+2}\,,\ldots ,$

${}\sum _{i=n}^{n}a_{i}=ca_{n}\,.$

Indem man sukzessive diese Gleichungen von unten nach oben betrachtet, erhält man bei ${}c\neq 1$ direkt

${}0=a_{n}=a_{n-1}=\ldots =a_{k+1}\,$

und bei ${}c=1$ erhält man

${}0=a_{n}=a_{n-1}=\ldots =a_{k+2}\,.$

Damit ist jedenfalls ${}w\in V_{k+1}$ und somit

${}W_{k+1}=V_{k+1}$.

Zur gelösten Aufgabe