Wir nehmen zunächst an, dass

und

isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung
-
existiert.
Es sei
eine Basis von
. Aufgrund der Surjektivität von
existieren Elemente
in
mit
.
Es sei
eine Darstellung der 0. Dann ist

weil
linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass
linear unabhängig sind und wegen Fakt (4) ist die Dimension von
damit mindestens so hoch wie die von
. Mithilfe der Umkehrabbildung zu
können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von
mindestens so hoch ist, wie die von
. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen

von

und

von

gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen

bzw.

gemäß
Fakt lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind

und

isomorph.