Vektorraum/Körperwechsel/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt ${}L\otimes _{K}V$ ist ein ${}L$-Vektorraum.
2. Es gibt eine kanonische ${}K$-lineare Abbildung

   $V\longrightarrow L\otimes _{K}V,\,v\longmapsto 1\otimes v.$

   Bei ${}K=L$ ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einer ${}K$-linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ist die induzierte Abbildung

   $\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \colon L\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}W$

   eine ${}L$-lineare Abbildung.

4. Zu ${}V=K^{n}$ ist

   ${}L\otimes _{K}K^{n}\cong L^{n}\,.$

5. Zu einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ ist

   ${}\operatorname {dim} _{K}\left(V\right)=\operatorname {dim} _{L}\left(L\otimes _{K}V\right)\,.$

6. Zu einer weiteren Körpererweiterung ${}L\subseteq M$ ist

   ${}M\otimes _{K}V\cong M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\,$

   (eine Isomorphie von $M$-Vektorräumen).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen