Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normen äquivalent/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt. Die Norm und die Topologie hängen nur von dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ab, wir können also

${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} \,$

annehmen. Zu einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gibt es einen Isomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$

mit ${}e_{i}\mapsto v_{i}$. Da unter dem Isomorphismus ${}\varphi$ durch

${}\Vert {u}\Vert ':=\Vert {\varphi (u)}\Vert \,$

eine Norm auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ definiert wird, können wir direkt ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ annehmen. Wir vergleichen nun eine beliebige Norm auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit der Maximumsnorm bzw. der euklidischen Norm, von denen wir nach Beispiel schon wissen, dass sie untereinander äquivalent sind. Es sei ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}$. Wegen

${}{\begin{aligned}\Vert {v}\Vert &=\Vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}}\Vert \\&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {a_{i}e_{i}}\Vert \\&=\sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {e_{i}}\Vert \\&\leq n\cdot {\max {\left(\Vert {e_{i}}\Vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\end{aligned}}$

sind hinreichend kleine ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-offene Bälle in ${}\Vert {-}\Vert$-offenen Bällen enthalten. Die Topologie zur Maximumsnorm ist also mindestens so fein wie die Topologie zu jeder anderen Norm. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Identität

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

wobei die Topologie links durch die euklidische (bzw. Maximumsnorm) und rechts durch die Norm gegeben sei. Diese Abbildung ist nach der bisherigen Überlegung stetig. Die euklidische Einheitssphäre ${}S$ links ist kompakt und nach Fakt ist ${}S$ bezüglich der Norm ${}\Vert {-}\Vert$ ebenfalls überdeckungskompakt. Diese nennen wir ${}S'$. Da ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit jeder Norm ein Hausdorff-Raum ist, ist ${}S'$ wegen Aufgabe insbesondere abgeschlossen. Da der Nullpunkt nicht zu ${}S'$ gehört, gibt es ein

${}\delta >0\,$

mit

${}U{\left(0,\delta \right)}\cap S'=\emptyset \,$

(der offene Ball in der ${}\Vert {-}\Vert$-Topologie). Für ${}v\neq 0$ ist wegen ${}{\frac {v}{\Vert {v}\Vert _{\rm {euk}}}}\in S=S'$ also

${}\Vert {\frac {v}{\Vert {v}\Vert _{\rm {euk}}}}\Vert \geq \delta \,$

und somit

${}\Vert {v}\Vert _{\rm {euk}}\leq {\frac {1}{\delta }}\Vert {v}\Vert \,.$

Zur bewiesenen Aussage