Wir verwenden
Fakt.
Die Norm und die Topologie hängen nur von dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ab, wir können also
-

annehmen. Zu einer Basis
gibt es einen
Isomorphismus
-
mit
. Da unter dem Isomorphismus
durch
-

eine Norm auf dem
definiert wird, können wir direkt
annehmen. Wir vergleichen nun eine beliebige Norm auf dem
mit der Maximumsnorm bzw. der euklidischen Norm, von denen wir nach
Beispiel
schon wissen, dass sie untereinander äquivalent sind. Es sei
.
Wegen

sind hinreichend kleine
-offene Bälle in
-offenen Bällen enthalten. Die Topologie zur Maximumsnorm ist also mindestens so fein wie die Topologie zu jeder anderen Norm. Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Identität
-
wobei die Topologie links durch die euklidische
(bzw. Maximumsnorm)
und rechts durch die Norm gegeben sei. Diese Abbildung ist nach der bisherigen Überlegung stetig. Die euklidische Einheitssphäre
links ist
kompakt
und nach
Fakt
ist
bezüglich der Norm
ebenfalls überdeckungskompakt. Diese nennen wir
. Da
mit jeder Norm ein Hausdorff-Raum ist, ist
wegen
Aufgabe
insbesondere abgeschlossen. Da der Nullpunkt nicht zu
gehört, gibt es ein
-

mit
-

(der offene Ball in der
-Topologie).
Für
ist wegen
also
-

und somit
-
