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Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Längenabschätzung/Fakt/Beweis
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<
Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Längenabschätzung/Fakt
Beweis
Es ist
‖
∫
γ
ω
‖
=
‖
∫
a
b
ω
(
γ
(
t
)
,
γ
′
(
t
)
)
d
t
‖
≤
∫
a
b
‖
ω
(
γ
(
t
)
,
γ
′
(
t
)
)
‖
d
t
≤
∫
a
b
‖
ω
(
γ
(
t
)
)
‖
max
⋅
‖
γ
′
(
t
)
‖
d
t
≤
∫
a
b
B
⋅
‖
γ
′
(
t
)
‖
d
t
≤
B
⋅
L
(
γ
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert &=\Vert {\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t),\gamma '(t))dt}\Vert \\&\leq \int _{a}^{b}\Vert {\omega (\gamma (t),\gamma '(t))}\Vert dt\\&\leq \int _{a}^{b}\Vert {\omega (\gamma (t))}\Vert _{\text{max}}\cdot \Vert {\gamma '(t)}\Vert dt\\&\leq \int _{a}^{b}B\cdot \Vert {\gamma '(t)}\Vert dt\\&\leq B\cdot L(\gamma )\end{aligned}}}
nach
Fakt
und
Fakt
.
Zur bewiesenen Aussage