Vektorraum/Zahlenraum/Endliche Familie/Eigenschaften der Einsetzungsabbildung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von Vektoren im ${}K^{n}$. Zeige, dass für die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{m}\longrightarrow K^{n},\,(s_{1},\ldots ,s_{m})\longmapsto \sum _{i=1}^{m}s_{i}v_{i},$

die folgenden Beziehungen gelten.

1. ${}\varphi$ ist surjektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}K^{n}$ ist.
2. ${}\varphi$ ist bijektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}K^{n}$ ist.

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