Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt antilinear (oder semilinear), wenn

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,$

für alle ${}u,v\in V$ und wenn

${}\varphi (\lambda v)={\overline {\lambda }}\varphi (v)\,$

für alle ${}v\in V$ und ${}\lambda \in \mathbb {C}$ gilt.

Die Antilinearität von ${}\varphi$ kann man auch so ausdrücken, dass ${}\varphi$ reell-linear ist und dass ${}\varphi ({\mathrm {i} }v)=-{\mathrm {i} }\varphi (v)$ für alle ${}v\in V$ gilt, siehe Aufgabe.

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ komplexe Vektorräume.

Dann lässt sich jede ${}\mathbb {R}$-lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eindeutig als ${}\varphi =\psi +\theta$ mit einer ${}{\mathbb {C} }$-linearen Abbildung ${}\psi$ und einer ${}{\mathbb {C} }$-antilinearen Abbildung ${}\theta$ schreiben.

Beweis

Wir setzen

${}\psi ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,$

und

${}\theta ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,,$

wobei ${}{\mathrm {i} }$ hier jeweils als Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$ zu verstehen ist. Offenbar ist ${}\varphi =\psi +\theta$, die ${}\mathbb {R}$-Linearität der beiden Abbildungen ist ebenfalls klar. Die Linearität bzw. Antilinearität ist nur noch für die skalare Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$ nachzuweisen. Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}\psi ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&={\mathrm {i} }\psi (v)\end{aligned}}$

und andererseits

${}{\begin{aligned}\theta ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&=-{\mathrm {i} }\theta (v).\end{aligned}}$

Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei ${}\varphi =\psi +\theta =\psi '+\theta '$. Dann ist

${}\psi -\psi '=\theta -\theta '\,$

sowohl ${}{\mathbb {C} }$-linear als auch ${}{\mathbb {C} }$-antilinear, also nach Aufgabe die Nullabbildung.

$\Box$

In der obigen Aussage nennt man ${}\psi$ den ${}\mathbb {C}$-linearen Anteil von ${}\varphi$ und ${}\theta$ den ${}\mathbb {C}$-antilinearen Anteil von ${}\varphi$. Insbesondere ist eine reell-lineare Abbildung genau dann ${}\mathbb {C}$-linear, wenn ihr antilinearer Anteil gleich ${}0$ ist.

Bemerkung  

Reell-lineare Abbildung von ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ auf sich selbst werden bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ durch eine ${}2\times 2$-Matrix ${}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ beschrieben. Die Zerlegung im Sinne von Fakt ist

${}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r+u&-t+s\\t-s&r+u\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r-u&t+s\\t+s&-r+u\end{pmatrix}}\,.$

Die Matrix ist genau dann komplex-linear, wenn sie die Form

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

besitzt, wenn also eine Multiplikation mit der komplexen Zahl ${}a+b{\mathrm {i} }$ vorliegt, und komplex-antilinear genau dann, wenn sie die Form

${\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$

besitzt.