Vollkommener Körper/Endliche Algebra/Reduziert/Spur/Ausartung/Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar aufgrund von Aufgabe. Es sei (2) erfüllt, . Wegen der Voraussetzung vollkommen sind die Körpererweiterungen separabel. Die Spur setzt sich zusammen aus der Summe der Spuren zu den Körpererweiterungen, da man von diesen jeweils Basen wählen kann und sich diese zu einer Gesamtbasis von zusammensetzen. Bezüglich einer solchen Basis sind die Multiplikationsmatrizen Diagonalblockmatrizen. Bei von verschieden ist auch eine Komponente in einem Körper von verschieden. Im Körperfall ist die Spurform nichtausgeartet und daher gibt es (das wir in auffassen können) mit . (3) und (4) sind äquivalent. Wenn die Spurform nicht ausgeartet ist, so besitzt die Gramsche Matrix davon eine von verschiedene Determinante, und umgekehrt, siehe Aufgabe bzw. Fakt.

Es sei nun nicht reduziert. Zu einem nilpotenten Element ist das Minimalpolynom gleich und damit ist auch das charakteristische Polynom gleich , wobei den Grad der Erweiterung bezeichnet (für einen Körper wurde dies in Fakt gezeigt, es gilt aber auch sonst). Deshalb ist die Spur von nach Aufgabe gleich . Zu einem nilpotenten Element und einem beliebigen Element ist auch nilpotent und daher ist, wenn es ein nichttriviales nilpotentes Element gibt, die Spurform ausgeartet.