Vollkommener Körper/Endliche Algebra/Reduziert/Spur/Ausartung/Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar aufgrund von Aufgabe. Es sei (2) erfüllt, ${}A=L_{1}\times \cdots \times L_{r}$. Wegen der Voraussetzung vollkommen sind die Körpererweiterungen ${}K\subseteq L_{j}$ separabel. Die Spur ${}A\rightarrow K$ setzt sich zusammen aus der Summe der Spuren zu den Körpererweiterungen, da man von diesen jeweils Basen wählen kann und sich diese zu einer Gesamtbasis von ${}A$ zusammensetzen. Bezüglich einer solchen Basis sind die Multiplikationsmatrizen Diagonalblockmatrizen. Bei ${}x\in A$ von ${}0$ verschieden ist auch eine Komponente ${}x_{j}$ in einem Körper ${}L_{j}$ von ${}0$ verschieden. Im Körperfall ist die Spurform nichtausgeartet und daher gibt es ${}y_{j}\in L_{j}$ (das wir in ${}A$ auffassen können) mit ${}S(x,y_{j})=S(x_{j}y_{j})\neq 0$. (3) und (4) sind äquivalent. Wenn die Spurform nicht ausgeartet ist, so besitzt die Gramsche Matrix davon eine von ${}0$ verschiedene Determinante, und umgekehrt, siehe Aufgabe bzw. Fakt.

Es sei nun ${}A$ nicht reduziert. Zu einem nilpotenten Element ${}f$ ist das Minimalpolynom gleich ${}X^{m}$ und damit ist auch das charakteristische Polynom gleich ${}X^{n}$, wobei ${}n$ den Grad der Erweiterung bezeichnet (für einen Körper ${}A$ wurde dies in Fakt gezeigt, es gilt aber auch sonst). Deshalb ist die Spur von ${}f$ nach Aufgabe gleich ${}0$. Zu einem nilpotenten Element ${}f$ und einem beliebigen Element ${}x$ ist auch ${}fx$ nilpotent und daher ist, wenn es ein nichttriviales nilpotentes Element gibt, die Spurform ausgeartet.

Zur bewiesenen Aussage