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Wegintegral/C/Komplexwertig/Reell-linear/4/Aufgabe/Lösung
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Wegintegral
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C/Komplexwertig/Reell-linear/4/Aufgabe
Es ist
ω
=
z
¯
d
z
+
z
d
z
¯
=
(
x
−
i
y
)
d
(
x
+
i
y
)
+
(
x
+
i
y
)
d
(
x
−
i
y
)
=
(
x
−
i
y
+
x
+
i
y
)
d
x
+
i
(
x
−
i
y
−
x
−
i
y
)
d
y
=
2
x
d
x
+
i
(
−
2
i
y
)
d
y
=
2
x
d
x
+
2
y
d
y
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\omega &={\overline {z}}dz+zd{\overline {z}}\\&=(x-{\mathrm {i} }y)d(x+{\mathrm {i} }y)+(x+{\mathrm {i} }y)d(x-{\mathrm {i} }y)\\&={\left(x-{\mathrm {i} }y+x+{\mathrm {i} }y\right)}dx+{\mathrm {i} }{\left(x-{\mathrm {i} }y-x-{\mathrm {i} }y\right)}dy\\&=2xdx+{\mathrm {i} }{\left(-2{\mathrm {i} }y\right)}dy\\&=2xdx+2ydy.\end{aligned}}}
Diese Differentialform ist exakt mit der Stammform
φ
(
x
+
i
y
)
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle {}\varphi (x+{\mathrm {i} }y)=x^{2}+y^{2}\,.}
Wegen
γ
(
−
3
)
=
−
2
−
3
i
+
27
=
25
−
3
i
{\displaystyle {}\gamma (-3)=-2-3{\mathrm {i} }+27=25-3{\mathrm {i} }\,}
und
γ
(
1
)
=
−
2
+
i
+
3
=
1
+
i
{\displaystyle {}\gamma (1)=-2+{\mathrm {i} }+3=1+{\mathrm {i} }\,}
ist nach
Fakt
∫
γ
ω
=
φ
(
γ
(
1
)
)
−
φ
(
γ
(
−
3
)
)
=
φ
(
1
+
i
)
−
φ
(
25
−
3
i
)
=
1
+
1
+
625
+
9
=
636.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\varphi (\gamma (1))-\varphi (\gamma (-3))\\&=\varphi (1+{\mathrm {i} })-\varphi (25-3{\mathrm {i} })\\&=1+1+625+9\\&=636.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe