Widerspruchsbeweis/Quadtarwurzel 2 und Euklid/Einführung/Textabschnitt

Bei einem Widerspruchsbeweis geht man folgendermaßen vor: Man möchte eine mathematische Aussage ${}A$ beweisen. Man nimmt dann an, dass ${}A$ nicht wahr ist, dass also die Negation von ${}A$ wahr ist. Dann führt man eine mathematische Argumentation durch, die zu einem Widerspruch führt, typischerweise zu einer Aussage ${}B$, die sowohl gilt als auch nicht gilt. Da dies nicht sein kann, muss die Annahme falsch gewesen sein, und damit ist ${}A$ bewiesen. Da die Argumentation mathematisch korrekt sein muss, bleibt als einzige Erklärung für den Widerspruch die Möglichkeit übrig, dass die Annahme falsch ist.

Wir geben zwei Hauptbeispiele für einen Widerspruchsbeweis.

Satz

Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich ${}2$ ist.

D.h. die reelle Zahl ${}{\sqrt {2}}$ ist irrational.

Beweis

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ${}2$ ist, und führen das zu einem Widerspruch. Es sei also angenommen, dass

${}x\in \mathbb {Q} \,$

die Eigenschaft besitzt, dass

${}x^{2}=2\,$

ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl ${}x$ können wir somit als

${}x={\frac {a}{b}}\,$

ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also ${}a$ und ${}b$ keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, ${}a$ oder ${}b$ ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit ${}2$ kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft

${}x^{2}=2\,$

bedeutet ausgeschrieben

${}x^{2}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\,.$

Multiplikation mit ${}b^{2}$ ergibt die Gleichung

${}2b^{2}=a^{2}\,$

(dies ist eine Gleichung in ${}\mathbb {Z}$ bzw. sogar in ${}\mathbb {N}$). Diese Gleichung besagt, dass ${}a^{2}$ gerade ist, da ja ${}a^{2}$ ein Vielfaches der ${}2$ ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass ${}a$ selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz

${}a=2c\,$

mit einer ganzen Zahl ${}c$ machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten

${}2b^{2}=(2c)^{2}=2^{2}c^{2}\,.$

Wir können mit ${}2$ kürzen und erhalten

${}b^{2}=2c^{2}\,.$

Also ist auch ${}b^{2}$ und damit ${}b$ selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl ${}a$ als auch ${}b$ gerade sind.

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Der folgende Satz heißt Satz von Euklid.

Satz

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir ${}\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl

${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen ${}p_{i}$ teilbar, da bei Division von ${}N$ durch ${}p_{i}$ immer ein Rest ${}1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von ${}N$, die es nach Fakt geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.

$\Box$