X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}X^{n}-1=(X-1){\left(1+X+X^{2}+\cdots +X^{n-1}\right)}\,,$

wie sich durch Ausmultiplizieren der rechten Seite ergibt. Die ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta \neq 1$ ist eine Nullstelle der linken Seite. Da wir in einem Körper sind, muss der rechte Faktor bei Einsetzen von ${}\zeta$ den Wert ${}0$ ergeben. Also ist

${}\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe