Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Fakt/Beweis

Beweis

Die drei ersten Eigenschaften eines Betrages folgen unmittelbar aus grundlegenden Gesetzen, siehe Fakt und Fakt. Die Dreiecksabschätzung folgt aus

${}{\begin{aligned}\vert {f+g}\vert _{\mathfrak {p}}&=a^{-\operatorname {ord} \,(f+g)}\\&\leq a^{-\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)}\\&=a^{\operatorname {max} \left(-\operatorname {ord} \,(f),\,-\operatorname {ord} \,(g)\right)}\\&=\operatorname {max} \left(a^{-\operatorname {ord} \,(f)},\,a^{-\operatorname {ord} \,(g)}\right)\\&\leq a^{-\operatorname {ord} \,(f)}+a^{-\operatorname {ord} \,(g)}\\&=\vert {f}\vert _{\mathfrak {p}}+\vert {g}\vert _{\mathfrak {p}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage