Zahlbereich/Dritte Wurzel 2/Faser/Nicht homogen/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]=K\subset \mathbb {R} \,.$

Der Ganzheitsring ist

${}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\,$

nach Fakt. Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom ${}X^{3}-2$ über ${}K$ (und reell) nicht zerfällt. Oberhalb von ${}(2)$ liegt das einzige Primideal ${}(X)$. Für eine ungerade Primzahl ${}p$ mit ${}p=2\mod 3$ sind ${}p-1$ und ${}3$ teilerfremd und daher ist die dritte Potenz

$\mathbb {Z} /(p)\longrightarrow \mathbb {Z} /(p),\,z\longmapsto z^{3},$

eine Bijektion. Insbesondere besitzt die ${}2$ eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel ${}a$ und es gibt eine Faktorzerlegung

${}X^{3}-2=(X-a)(X^{2}+bX+c)\,$

in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$, wobei der hintere Faktor irreduzibel ist. Deshalb liegen über ${}(p)$ in der Erweiterung ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits ${}\mathbb {Z} /(p)$ und andererseits ${}{\mathbb {F} }_{p^{2}}$ ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei ${}p=5$ ist beispielsweise

${}3^{3}=2\mod 5\,$

und

${}X^{3}-2=X^{3}+3=(X+2)(X^{2}+3X+4)\,$

und somit

${}{\begin{aligned}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)&=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)\\&=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{3}-2)\\&=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X+2)\times \mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2}+3X+4)\\&\cong \mathbb {Z} /(5)\times {\mathbb {F} }_{25}.\end{aligned}}$

Bei

${}p=1\mod 3\,$

ist ${}3$ ein Teiler von ${}p-1$ und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in ${}\mathbb {Z} /(p)$. Wenn die ${}2$ in ${}\mathbb {Z} /(p)$ eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper ${}\mathbb {Z} /(7)$ sind. Wenn die ${}2$ in ${}\mathbb {Z} /(p)$ keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit ${}p^{3}$ Elementen ist.

Sei ${}p=7$. Dritte Einheitswurzeln sind ${}1,2,4$. Die andere dritte Potenz ist

${}6=3^{3}=5^{3}=6^{3}\,.$

D.h. ${}2$ ist keine dritte Potenz und ${}\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}-2)$ ist ein Körper mit ${}243$ Elementen.

Sei ${}p=13$. Die dritten Einheitswurzeln sind ${}1,3,9$. Die weiteren dritten Potenzen sind ${}-1=12,8=2^{3},5=11^{3}$, die ${}2$ ist also wieder keine dritte Potenz.

Sei ${}p=19$. Die dritten Einheitswurzeln sind ${}1,7,11$. Die weiteren dritten Potenzen sind ${}-1=18,8=2^{3},7=4^{3},11=5^{3},12=10^{3}$, die ${}2$ ist also wieder keine dritte Potenz.

Sei ${}p=31$. Die dritten Einheitswurzeln sind ${}1,5,25$.

Hier ist

${}2=4^{3}=20^{3}=7^{3}\,.$

D.h. es ist

${}{\begin{aligned}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(31)&=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(31)\\&=\mathbb {Z} /(31)[X]/(X^{3}-2)\\&=\mathbb {Z} /(31)[X]/(X-4)(X-7)(X-20)\\&\cong \mathbb {Z} /(31)\times \mathbb {Z} /(31)\times \mathbb {Z} /(31),\end{aligned}}$

die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper ${}\mathbb {Z} /(31)$ besitzen.