Zahlbereich/Einheitswurzeln/Endlich/Fakt/Beweis

Beweis

Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K=Q(R)$, die den Grad ${}d$ habe. Wir behaupten zunächst, dass die Ordnungen in ${}\mu _{}{\left(K\right)}$ beschränkt ist. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei ${}r_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine streng wachsende (und damit unbeschränkte) Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus ${}\mu _{}{\left(K\right)}$ vorkommen. Dann gilt nach Fakt für die Kreisteilungskörper

${}K_{r_{n}}\subseteq K\,.$

Für der Grad ${}d$ gilt dann unter Verwendung von Fakt

${}d\geq \operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K_{r_{n}}={\varphi (r_{n})}\,.$

Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder ${}r_{n}$ unendlich viele Primzahlen ${}p_{m}$ vorkommen, so ist

${}d\geq p_{m}-1\,.$

Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen ${}p^{s_{k}}$ als Teiler mit ${}s_{k}\rightarrow \infty$. In diesem Fall ist ${}d\geq (p-1)p^{s_{k}-1}$. In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von ${}d$. Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mit Fakt. Die Zyklizität folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage