Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/Textabschnitt

Da sich die Addition zweier natürlicher Zahlen aus den Dedekind-Peano-Axiomen ergibt, gibt es in jeder Beschreibung der natürlichen Zahlen genau eine Möglichkeit, zu addieren. Ob diese algorithmisch geschickt oder kompliziert ist, hängt wesentlich von der gewählten Beschreibung ab. Wenn man durch Strichfolgen gegebene Zahlen miteinander addiert, so hängt man einfach die beiden Strichfolgen aneinander. Dies ist auf den ersten Blick ein sehr einfacher Vorgang. Wenn man es aber ernsthaft schriftlich durchführen möchte, so sieht man, dass es extrem mühsam ist, da man jeden Strich der einen Strichfolge einzeln an die andere anhängen muss.

Das schriftliche Addieren zweier natürlicher Zahlen im Zehnersystem ist aus der Schule bekannt. Man schreibt die beiden Zahlen untereinander so, dass die Einerpositionen übereinander stehen und addiert dann die beiden passenden Ziffern (im Sinne des kleinen Einundeins) von hinten nach vorne. Wenn das Ergebnis kleiner als ${}10$ ist, schreibt man diese Zahl hin und rückt nach links. Wenn das Ergebnis größer oder gleich ${}10$ ist, so schreibt man die Einerziffer dieser Summe an der Stelle hin und hat in der links liegenden Stelle einen zusätzlichen Übertrag von ${}1$ mitzuberücksichtigen. Dies ist insgesamt ein rekursives Verfahren, das wir kurz festhalten.

Verfahren  

Das schriftliche Addieren ${}m+n$ zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$

gegeben sind (wobei auch vordere Nullen erlaubt sind), funktioniert folgendermaßen. Man berechnet die Dezimalziffern ${}c_{i}$ des Ergebnisses und die Überträge ${}d_{i+1}$ (mit dem Startwert ${}d_{0}=0$) sukzessive durch

${}c_{i}={\begin{cases}a_{i}+b_{i}+d_{i}\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}<10\,,\\a_{i}+b_{i}+d_{i}-10\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}\geq 10\,,\end{cases}}\,$

und

${}d_{i+1}={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}<10\,,\\1\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}\geq 10\,.\end{cases}}\,$

Die Dezimaldarstellung der Summe ${}m+n$ ist ${}c_{k+1}c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$ (wobei ${}c_{k+1}=0$ sein kann). Es gilt stets

${}a_{i}+b_{i}+d_{i}=d_{i+1}10+c_{i}\,.$

Warum ist dieser Algorithmus richtig, warum liefert er das korrekte Ergebnis? Die Gewöhnung an dieses Verfahren verleitet dazu, diese Frage nicht ernst zu nehmen bzw. nicht zu verstehen. Das eben beschriebene schriftliche Addieren ist nicht die Definition der Addition, sondern eine algorithmische Ausführung der Addition in einem bestimmten Beschreibungssystem (nämlich dem Dezimalsystem) für die natürlichen Zahlen.

Der Ausgangspunkt der Addition der natürlichen Zahlen liegt in der disjunkten Vereinigung von endlichen Mengen, wir haben die Addition über die Nachfolgerabbildung eingeführt und bereits in Fakt gezeigt, dass sie mit dem Vereinigungskonzept übereinstimmt. Warum stimmt auch das schriftliche Addieren damit überein? Konkret: Man hat zwei Mengen ${}A$ und ${}B$ an Äpfeln und bestimmt für beide Mengen ihre Anzahl im Zehnersystem: diese seien ${}m$ und ${}n$. Dann schüttet man die Mengen zusammen, erhält die Menge ${}C=A\cup B$ und bestimmt für diese Menge die Anzahl im Zehnersystem: diese sei ${}k$. Warum kommt, wenn man die Zahlen ${}m$ und ${}n$ im Zehnersystem schriftlich addiert, ausgerechnet ${}k$ heraus?

Die beiden Zahlen seien als ${}m=a_{r}10^{r}+a_{r-1}10^{r-1}+\cdots +a_{2}10^{2}+a_{1}10+a_{0}$ und ${}n=b_{s}10^{s}+b_{s-1}10^{s-1}+\cdots +b_{2}10^{2}+b_{1}10+b_{0}$ gegeben, wobei die Ziffern alle zwischen ${}0$ und ${}9$ seien. Es sei ${}r\geq s$ und wir können sogar annehmen, dass ${}r=s$ ist, indem wir fehlende Ziffern in der zweiten Dezimalentwicklung durch Nullen auffüllen. Dann ist

${\left(a_{r}10^{r}+a_{r-1}10^{r-1}+\cdots +a_{2}10^{2}+a_{1}10+a_{0}\right)}+{\left(b_{r}10^{r}+b_{r-1}10^{r-1}+\cdots +b_{2}10^{2}+b_{1}10+b_{0}\right)}={\left(a_{r}+b_{r}\right)}10^{r}+{\left(a_{r-1}+b_{r-1}\right)}10^{r-1}+\cdots +{\left(a_{2}+b_{2}\right)}10^{2}+{\left(a_{1}+b_{1}\right)}10+{\left(a_{0}+b_{0}\right)}\,.$

Dies beruht auf dem Assoziativgesetz der Addition und dem Distributivgesetz. Achtung! Dieses Ergebnis ist nicht in der Dezimaldarstellung, da die vor den Zehnerpotenzen ${}10^{i}$ stehenden Zahlen ${}a_{i}+b_{i}$ nicht unbedingt kleiner als ${}10$ sein müssen. Man kann an dieser Stelle Bemerkung anwenden und zu den „größeren“ Ziffern nach oben schaufeln. Dies ist aber nicht das Verfahren des schriftlichen Addierens.

Satz

Das schriftliche Addieren im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis

Die beiden Zahlen seien

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},$

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}k$. Bei ${}k=0$ handelt es sich um einstellige Zahlen und der Algorithmus ist korrekt. Hierzu macht man eine Fallunterscheidung abhängig davon, ob ${}a_{0}+b_{0}<10$ ist oder nicht. Es sei die Aussage nun für beliebige Zahlen, die beide maximal ${}k+1$ Ziffern haben, bewiesen, und seien zwei maximal ${}k+2$-stellige Zahlen gegeben. Es ist

${}{\begin{aligned}m+n&=\sum _{i=0}^{k+1}a_{i}10^{i}+\sum _{i=0}^{k+1}b_{i}10^{i}\\&=a_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}+b_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}} _{=m'}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}} _{=n'}.\end{aligned}}$

Es seien ${}c_{i},d_{i}$ die durch den für ${}m$ und ${}n$ in Fakt beschriebenen Algorithmus festgelegten Zahlen. Die entsprechenden Zahlen für ${}m'$ und ${}n'$ stimmen damit bis auf eventuell ${}c_{k+1},c_{k+2},d_{k+2}$ überein, da diese nur von den Ziffern bis einschließlich ${}a_{k}$ und ${}b_{k}$ abhängen. Für ${}m'+n'$ bezeichnen wir mit ${}c_{k+1}'$ die entsprechende Ziffer, und zwar ist ${}c_{k+1}'=d_{k+1}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Summe der beiden hinteren Summanden gleich

$\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}+c_{k+1}'10^{k+1}.$

Die Gesamtsumme ist somit gleich

${}{\begin{aligned}m+n&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+c_{k+1}'10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+c_{k+1}'\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+d_{k+1}\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=c_{k+2}10^{k+2}+c_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=0}^{k+2}c_{i}10^{i}.\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Wir erläutern den Induktionsschritt im Beweis zu Fakt anhand eines Beispiels. Wir wollen ${}62973+87515$ berechnen. Im Beweis wird diese Rechnung mit der Rechnung ${}2973+7515$ in Bezug gesetzt, es wird also die vordere Ziffer weggelassen und die Wirkungsweise des Algorithmus für die beiden Zahlenpaare wird verglichen. Die hinteren Ziffern ${}c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}$ und die Überträge ${}d_{0},d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$ stimmen überein (und deshalb werden sie in der Bezeichnung auch nicht unterschieden). Für die kürzere Rechnung ist ${}c'_{4}=1$ und ${}d'_{5}=c'_{5}=0$ (letztere Zahlen kommen gar nicht vor), für die längere Rechnung ist aber ${}c_{4}=5$, ${}d_{5}=1$ und ${}c_{5}=1$.

Die Korrektheit des schriftlichen Addierens überträgt sich auf die Addition mehrerer Summanden in der Dezimaldarstellung. Man summiert wieder ziffernweise und schreibt die letzte Ziffer der Summe an der entsprechenden Stelle hin, ebenso den Übertrag. Dieser kann jetzt allerdings (ab zwölf Summanden) sogar größergleich ${}100$ sein, in diesem Fall muss man die Zehnerziffer wie zuvor um eins nach links schreiben und die Hunderterstelle um zwei nach links. Grundsätzlich kann man auch eine Summe mit beliebig vielen Summanden dadurch errechnen, dass man je zwei Summanden zusammenaddiert und somit die Anzahl der Summanden sukzessive verringert, doch ist das viel komplizierter.