Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/Zwei Beweise/Textabschnitt

Da sich die Addition zweier natürlicher Zahlen aus den Dedekind-Peano-Axiomen ergibt, gibt es in jeder Beschreibung der natürlichen Zahl genau eine Möglichkeit, zu addieren. Ob diese algorithmisch geschickt oder kompliziert ist, hängt wesentlich von der gewählten Beschreibung ab. Wenn man durch Strichfolgen gegebene Zahlen miteinander addiert, so hängt man einfach die beiden Strichfolgen aneinander. Dies ist auf den ersten Blick ein sehr einfacher Vorgang. Wenn man es aber ernsthaft schriftlich durchführen möchte, so sieht man, dass es extrem mühsam ist, da man jeden Strich der einen Strichfolge einzelnen an die andere anhängen muss.

Das schriftliche Addieren zweier natürlicher Zahlen im Zehnersystem ist aus der Schule bekannt. Man schreibt die beiden Zahlen untereinander so, dass die Einerpositionen übereinander stehen und addiert dann die beiden passenden Ziffern (im Sinne des kleinen Einundeins) von hinten nach vorne. Wenn das Ergebnis kleiner als ${}10$ ist, schreibt man diese Zahl hin und rückt nach links. Wenn das Ergebnis größer oder gleich ${}10$ ist, so schreibt man die Einerziffer dieser Summe an der Stelle hin und hat in der links liegenden Stelle einen zusätzlichen Übertrag von ${}1$ mitzuberücksichtigen. Dies ist insgesamt ein rekursives Verfahren, das wir kurz festhalten.

Verfahren  

Das schriftliche Addieren ${}m+n$ zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$

gegeben sind (wobei auch vordere Nullen erlaubt sind), funktioniert folgendermaßen. Man berechnet die Dezimalziffern ${}c_{i}$ des Ergebnisses und die Überträge ${}d_{i+1}$ (mit dem Startwert ${}d_{0}=0$) sukzessive durch

${}c_{i}={\begin{cases}a_{i}+b_{i}+d_{i}\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}<10\,,\\a_{i}+b_{i}+d_{i}-10\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}\geq 10\,,\end{cases}}\,$

und

${}d_{i+1}={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}<10\,,\\1\,,{\text{ falls }}a_{i}+b_{i}+d_{i}\geq 10\,.\end{cases}}\,$

Die Dezimaldarstellung der Summe ${}m+n$ ist ${}c_{k+1}c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$ (wobei ${}c_{k+1}=0$ sein kann). Es gilt stets

${}a_{i}+b_{i}+d_{i}=d_{i+1}10+c_{i}\,.$

Warum ist dieser Algorithmus richtig, warum liefert er das korrekte Ergebnis? Die Gewohnheit an dieses Verfahren verleitet dazu, diese Frage nicht ernst zu nehmen bzw. nicht zu verstehen. Das eben beschriebene schriftliche Addieren ist nicht die Definition der Addition, sondern eine algorithmische Ausführung der Addition in einem bestimmten Beschreibungssystem für die natürlichen Zahlen.

Der Ausgangspunkt der Addition der natürlichen Zahlen liegt in der disjunkten Vereinigung von endlichen Mengen, wir haben die Addition über die Nachfolgerabbildung eingeführt und bereits gezeigt, dass sie mit dem Vereinigungskonzept übereinstimmt. Warum stimmt auch das schriftliche Addieren damit überein? Konkret: Man hat zwei Mengen ${}A$ und ${}B$ an Äpfel und bestimmt für beide Mengen ihre Anzahl im Zehnersystem: diese seien ${}k$ und ${}n$. Dann schüttet man die Mengen zusammen, erhält die Menge ${}C=A\cup B$ und bestimmt für diese Menge die Anzahl im Zehnersystem: diese sei ${}m$. Warum kommt, wenn man die Zahlen ${}k$ und ${}n$ im Zehnersystem schriftlich addiert, ausgerechnet ${}m$ heraus?

Die beiden Zahlen seien als ${}n=a_{r}10^{r}+a_{r-1}10^{r-1}+\cdots +a_{2}10^{2}+a_{1}10+a_{0}$ und ${}k=b_{s}10^{s}+b_{s-1}10^{s-1}+\cdots +b_{2}10^{2}+b_{1}10+b_{0}$ gegeben, wobei die Ziffern alle zwischen ${}0$ und ${}9$ seien. Es sei ${}r\geq s$ und wir können sogar annehmen, dass ${}r=s$ ist, indem wir fehlende Ziffern in der zweiten Dezimalentwicklung durch Nullen auffüllen. Dann ist

${\left(a_{r}10^{r}+a_{r-1}10^{r-1}+\cdots +a_{2}10^{2}+a_{1}10+a_{0}\right)}+{\left(b_{r}10^{r}+b_{r-1}10^{r-1}+\cdots +b_{2}10^{2}+b_{1}10+b_{0}\right)}={\left(a_{r}+b_{r}\right)}10^{r}+{\left(a_{r-1}+b_{r-1}\right)}10^{r-1}+\cdots +{\left(a_{2}+b_{2}\right)}10^{2}+{\left(a_{1}+b_{1}\right)}10+{\left(a_{0}+b_{0}\right)}\,.$

Dies beruht auf dem Assoziativgesetz der Addition und dem Distributivgesetz. Achtung! Dieses Ergebnis ist nicht in der Dezimaldarstellung, da die vor den Zehnerpotenzen ${}10^{i}$ stehenden Zahlen ${}a_{i}+b_{i}$ nicht unbedingt kleiner als ${}10$ sein müssen. Man kann an dieser Stelle Bemerkung anwenden und zu größe „{{{1}}}“ Ziffern nach oben schaufeln. Dies ist aber nicht das Verfahren des schriftlichen Addierens.

Satz

Das schriftliche Addieren im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis

Die beiden Zahlen seien

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},$

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}k$. Bei ${}k=0$ handelt es sich um einstellige Zahlen und der Algorithmus ist korrekt. Hierzu macht man eine Fallunterscheidung abhängig davon, ob ${}a_{0}+b_{0}<10$ ist oder nicht. Es sei die Aussage nun für beliebige Zahlen, die beide maximal ${}k+1$ Ziffern haben, bewiesen, und seien zwei maximal ${}k+2$-stellige Zahlen gegeben. Es ist

${}{\begin{aligned}m+n&=\sum _{i=0}^{k+1}a_{i}10^{i}+\sum _{i=0}^{k+1}b_{i}10^{i}\\&=a_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}+b_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}} _{=m'}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}} _{=n'}.\end{aligned}}$

Es seien ${}c_{i},d_{i}$ die durch den für ${}m$ und ${}n$ in Fakt beschriebenen Algorithmus festgelegten Zahlen. Die entsprechenden Zahlen für ${}m'$ und ${}n'$ stimmen damit bis auf eventuell ${}c_{k+1},c_{k+2},d_{k+2}$ überein, da diese nur von den Ziffern bis einschließlich ${}a_{k}$ und ${}b_{k}$ abhängen. Für ${}m'+n'$ bezeichnen wir mit ${}c_{k+1}'$ die entsprechende Ziffer, und zwar ist ${}c_{k+1}'=d_{k+1}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Summe der beiden hinteren Summanden gleich

$\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}+c_{k+1}'10^{k+1}.$

Die Gesamtsumme ist somit gleich

${}{\begin{aligned}m+n&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+c_{k+1}'10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+c_{k+1}'\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+d_{k+1}\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=c_{k+2}10^{k+2}+c_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=0}^{k+2}c_{i}10^{i}.\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Wir wollen ${}329+475$ berechnen und schreiben

$329$

${\underline {475}}$

Nach dem ersten Rechenschritt haben wir

$329$

$475$

${\underline {\,\,\,1\,\,\,}}$

$\,\,\,\,\,\,4.$

Der Punkt im Beweis zu Fakt ist, dass man die hintersten Ziffern der beiden Summanden vergessen kann, die volle Information ist in der Endziffer ${}4$ und dem Übertrag ${}1$ bewahrt, was sich dahingehend niederschlägt, dass

$3\cdot 100+2\cdot 10+4\cdot 100+7\cdot 10+1\cdot 10+4$

gleich der Ausgangssumme ist. Diese Eigenschaft weiß man unabhängig davon, dass diese Summe noch gar nicht explizit ausgerechnet wurde. Es spricht also einiges dafür, dass man im Additionsalgorithmus die abgearbeiteten oberen hinteren Ziffern wegstreicht (für das Überprüfen der Rechnung ist das aber keine gute Idee). Im nächsten Rechenschritt rechnet man

${}2+7+1=10\,$

und man gelangt zu

$329$

$475$

${\underline {1\,\,\,\,\,\,}}$

$\,\,\,04.$

Die Invarianz zeigt sich in der Summe

$3\cdot 100+4\cdot 100+1\cdot 100+0\cdot 10+4.$

Im dritten Schritt rechnet man

${}3+4+1=8\,$

und man gelangt zu

$329$

${\underline {475}}$

$804.$

Die oberen Summanden kann man jetzt vollständig vergessen, das Endergebnis steht unten.

Wir geben noch einen zweiten Beweis für die Korrektheit des schriftlichen Addierens.

$a_{k}a_{k-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\ldots \,\,\,\,\,\,a_{2}a_{1}a_{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{k}a_{k-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\ldots \,\,\,\,\,\,a_{2}a_{1}a_{0}$

${\underline {b_{k}b_{k-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ldots \,\,\,\,\,\,\,b_{2}b_{1}b_{0}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\underline {(b_{k}b_{k-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\ldots \,\,\,\,\,\,b_{2}b_{1}b_{0})^{\prime }}}$

$c_{k}c_{k-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ldots \,\,\,\,\,\,\,c_{2}c_{1}c_{0}$

Die beiden Zahlen seien

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},$

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen ein schrittweises Invarianzprinzip des schriftlichen Addierens, nämlich, dass nach dem ${}i$-ten Schritt (${}i=-1,0,1,2,\ldots$), wenn die hinteren Ziffern ${}c_{i},c_{i-1},\ldots ,c_{0}$ und die Übertragsziffern ${}d_{i+1}$ schon berechnet sind, dass dann die jeweilige Summe

$S_{i}={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}\right)}+{\left(b_{k}10^{k}+\cdots +b_{i+1}10^{i+1}\right)}+d_{i+1}10^{i+1}+{\left(c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\right)}\,$

konstant ist (also nicht von ${}i$ abhängt), und zwar gleich ${}m+n$. Diese Summen beschreiben eine Momentaufnahme des Algorithmus zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei bedeutet der Schritt ${}-1$, dass noch keine Rechnung durchgeführt wurde. Am Anfang, bei ${}i=-1$, sind die beiden hinteren Summanden nicht vorhanden und vorne stehen ${}m$ und ${}n$ komplett, die Summe ist also ${}m+n$. Die Konstanz der Summen beweisen wir durch Induktion nach ${}i$, wobei wir den Fall

${}i=-1\,$

soeben behandelt haben. Sei nun die Konstanz

${}m+n=S_{-1}=S_{0}=S_{1}=\ldots =S_{i}\,$

bereits bewiesen, und wir verarbeiten die ${}10^{i+1}$-Stelle. Gemäß dem Algorithmus addiert man

$a_{i+1}+b_{i+1}+d_{i+1}$

und schreibt dies als

$d_{i+2}10+c_{i+1}$

mit ${}0\leq c_{i+1}\leq 9$ Somit ist

${}{\begin{aligned}a_{i+1}10^{i+1}+b_{i+1}10^{i+1}+d_{i+1}10^{i+1}&={\left(a_{i+1}+b_{i+1}+d_{i+1}\right)}10^{i+1}\\&={\left(d_{i+2}10+c_{i+1}\right)}10^{i+1}\\&=d_{i+2}10^{i+2}+c_{i+1}10^{i+1}.\end{aligned}}$

Wenn man in der Summe ${}S_{i}$ die linke Seite der vorstehenden Gleichung durch die rechte Seite ersetzt, so erhält man gerade ${}S_{i+1}$, was die Gleichheit zeigt. Wenn man ${}i$ hinreichend groß nimmt, hat man ${}m$ und ${}n$ verbraucht und die Summe ${}S_{i}$ besteht dann allein aus der durch die Ziffern ${}c_{i}$ gebildeten Zahl. Dies stimmt also mit der Summe ${}m+n$ überein.

Die Korrektheit des schriftlichen Addierens überträgt sich auf die Addition mehrerer Summanden in der Dezimaldarstellung. Man summiert wieder ziffernweise und schreibt die letzte Ziffer der Summe an der entsprechenden Stelle hin, ebenso den Übertrag. Dieser kann jetzt allerdings (ab zwölf Summanden) sogar größergleich ${}100$ sein, in diesem Fall muss man die Zehnerziffer wie zuvor um eins nach links schreiben und die Hunderterstelle um zwei nach links. Grundsätzlich kann man auch eine Summe mit beliebig vielen Summanden dadurch errechnen, dass man je zwei Summanden zusammenaddiert und somit die Anzahl der Summanden sukzessive verringert, doch ist das viel komplizierter.