Zyklische Gruppe/Reguläre Darstellung/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G=\mathbb {Z} /(r)$. Der Erzeuger ${}1$ operiert auf ${}\mathbb {Z} /(r)$ durch Addition mit ${}1$, die zugehörige Permutation ist also durch ${}k\mapsto k+1$ (und ${}r\mapsto 1$) gegeben. Die zugehörige Permutationsmatrix ist

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$

Somit ist die Zuordnung

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}^{i},$

die reguläre Darstellung der zyklischen Gruppe.