1-Form/K/Vektorräume/Fokus auf Funktionentheorie/Rückzug/Einführung/Textabschnitt
Es seien endlichdimensionale -Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige -Differentialform auf . Es sei eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen -Vektorraum und
eine total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man die Differentialform auf mit Werten in , die einem Punkt die lineare Abbildung zuordnet, die zurückgezogene Differentialform.
Es seien endlichdimensionale -Vektorräume, auf sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen und auf sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen fixiert. Es seien und offene Teilmengen, es sei
eine total differenzierbare Abbildung und es sei eine -wertige -Differentialform auf mit der Darstellung
mit Funktionen .
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
Aufgrund der Additivität beider Seiten können wir für ein annehmen. Es ist die Gleichheit von zwei linearen Abbildungen zu zeigen, sodass wir die Wirkungsweise auf der Basis von , die den Koordinaten zugrunde liegt, betrachten. Für einen Punkt und ein ist aber
Für eine holomorphe Differentialform , die auf einer offenen Teilmenge
mit einer komplex-differenzierbaren Funktion
gegeben ist, und eine weitere komplex-differenzierbare Funktion
, ,
ist der Rückzug gleich
Insbesondere ist
Es ist dieses Transformationsverhalten, das den Hauptunterschied zwischen einer holomorphen Funktion und der Differentialform ausmacht.
Es seien endlichdimensionale -Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -Differentialform auf mit Werten in . Es seien und weitere offene Mengen in endlichdimensionalen -Vektorräumen bzw. . Es seien
und
total differenzierbare Abbildungen.
Dann gilt