1-Form/K/Vektorräume/Textabschnitt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine differenzierbare Abbildung. Der Differentiationsprozess ordnet jedem Punkt ${}P\in G$ eine ${}{\mathbb {K} }$-lineare Abbildung

$\left(D\varphi \right)_{P}\colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}$

zu. Insgesamt liegt also eine Abbildung

$D\varphi \colon G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$

vor, das ein neuartiges Objekt darstellt. Dies ist ein grundlegender Unterschied zur eindimensionalen Situation, wo die Ableitung einer Funktion wieder eine Funktion ist.

Dieses neuartige Objekt erfassen wir mit einer neuen Definition.

Definition

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Eine ${}1$-Form (oder Differentialform ersten Grades) auf ${}G$ mit Werten in ${}W$ ist eine Abbildung

$\omega \colon G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}.$

Man spricht auch von einer Pfaffschen Form. Ein totales Differential, aufgefasst als eine Abbildung, die den Punkten der Definitionsmenge eine lineare Abbildung zwischen den umgebenden Vektorräumen zuordnet, ist also eine solche ${}1$-Form. Der Homomorphismenraum ist dabei selbst ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$, seine Dimension ist das Produkt der beiden Vektorraumdimensionen. Deshalb lassen sich auf eine ${}1$-Form Konzepte wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit u.s.w anwenden.

Bemerkung  

Wenn eine ${}1$-Form ${}\omega$ gegeben ist, so kann man sich fragen, ob man sie als totales Differential zu einer differenzierbaren Abbildung realisieren kann. Im eindimensionalen Fall ist dies die Frage nach einer Stammfunktion, im allgemeinen Fall ist aber diese Frage deutlich schwieriger, und eine Reihe von neuartigen Problemen tritt auf.

1. Es gibt vergleichsweise einfach zu formulierende notwendige Bedingungen (symmetrische Form, geschlossene Form), dass eine ${}1$-Form ein totales Differential ist, also eine Stammform besitzt. Diese sind aber im Allgemeinen nicht hinreichend.
2. Mit der Hilfe von stetigen Wegen kann man das Problem mit der Hilfe von reell-eindimensionalen Integralen angehen. Allerdings ist die Wahl des stetigen Weges von einem Punkt zu einem anderen wichtig, im Allgemeinen wird das Integrationsresultat vom gewählten Weg abhängen. Wenn aber zwischen den Wegen gewisse topologische Beziehungen bestehen (Homotopien), so ist das Ergebnis wiederum unabhängig vom Weg.
3. Eine Stammform kann lokal existieren, ohne dass sie global auf ganz ${}G$ existiert. Das bedeutet, dass es für jeden Punkt ${}P\in G$ eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq G$ (typischerweie eine Ballumgebung) geben kann, auf der ${}\omega {|}_{U}$ eine Stammform besitzt, dass man aber diese Stammformen auf den Überlappungen eventuell nicht sinnvoll zusammenkleben kann. Die Differenz zwischen lokalen und globalen Lösungen ist ein typisches Phänomen der höherdimensionalen Analysis.
4. Die Beziehung zwischen lokalen und globalen Lösungen hängt von topologischen Eigenschaften von ${}G$ ab. Ein instruktives Beispielpaar ist bereits ${}G=\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }$ einerseits und ${}G=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ andererseits.
5. Das Problem, eine Stammfunktion zu finden, tritt schon bei stetigen Funktionen ${}G\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen auf. Die Hauptsätze der Integrationstheorie wie Fakt oder Fakt sind mit gutem Grund nur reell formuliert. Obwohl der Differentiationsprozess im Reellen und im Komplexen gleichermaßen durch die Konvergenz des Differentialquotienten gegeben ist, unterscheidet sich die Integrationstheorie in den beiden Fällen deutlich. Ein typisches Beispiel ist die komplexe Invertierungsfunktion

   ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1}.$

   Gibt es eine komplexe Stammfunktion? Im reellen Fall ist der natürliche Logarithmus eine Stammfunktion, lässt sich diese auf die komplexen Zahlen ausdehnen? Man beachte, dass die Exponentialfunktion im Komplexen nicht injektiv ist, es gibt also keine Umkehrfunktion. Die oben erwähnten Phänomene begegnen schon in dieser sehr speziellen Situation.