Abgeschlossenes Intervall/Funktion/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis

Beweis

 Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es für alle ${}\delta >0$ ein Punktepaar ${}x,y\in [a,b]$ mit ${}\vert {x-y}\vert \leq \delta$ und ${}\vert {f(x)-f(y)}\vert \geq \epsilon$ gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Punktepaar ${}x_{n},y_{n}\in [a,b]$ mit ${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq {\frac {1}{n}}$ und ${}\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge ${}x_{n}$ eine in ${}\mathbb {R}$ konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn ${}x$, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert. Die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe ebenfalls gegen ${}x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen ${}f(x_{n})$ und ${}f(y_{n})$ gegen ${}f(x)$. Es sei nun ${}\epsilon '<{\frac {\epsilon }{2}}$. Dann ist für ${}n$ hinreichend groß sowohl ${}\vert {f(x_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$ als auch ${}\vert {f(y_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$. Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu ${}\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$.

Zur bewiesenen Aussage