Affiner Raum/Affine Basen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Familie von Punkten ${}P_{i}\in E$, ${}i\in I$, in einem affinen Raum ${}E$ über einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ heißt eine affine Basis von ${}E$, wenn zu einem ${}i_{0}\in I$ die Vektorfamilie

${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\in I\setminus \{i_{0}\},$

eine Basis von ${}V$ ist.

Wegen

${}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}={\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{1}}}}+{\overrightarrow {P_{i_{1}}P_{i}}}=-{\overrightarrow {P_{i_{1}}P_{i_{0}}}}+{\overrightarrow {P_{i_{1}}P_{i}}}\,$

kann man die Basisvektoren ${}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}$ zum Ursprungspunkt ${}P_{i_{0}}$ als Linearkombination durch die Vektoren zu einem beliebigen anderen Ursprungspunkt ${}P_{i_{1}}$ der Familie ausdrücken. Daher ist die Eigenschaft, eine affine Basis zu sein, unabhängig von dem gewählten ${}P_{i_{0}}$.

Die baryzentrischen Koordinaten in der Ebene, wobei die affinen Basispunkte die Eckpunkte eines Dreiecks bilden.

Definition

Zu einer Familie ${}P_{i}$, ${}i\in I$, von Punkten in einem affinen Raum ${}E$ und einem Zahltupel ${}a_{i}$, ${}i\in I$, mit

${}\sum _{i\in I}a_{i}=1\,$

(bei unendlichem ${}I$ ist dies so zu verstehen, dass nur endlich viele der ${}a_{i}$ von ${}0$ verschieden sein können) heißt die Summe ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ baryzentrische Kombination der ${}P_{i}$. Der zugehörige Punkt in ${}E$ ist durch

${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}=Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\,$

gegeben, wobei ${}Q$ ein beliebiger Punkt aus ${}E$ ist.

Lemma

Zu einer Familie ${}P_{i}$, ${}i\in I$, von Punkten in einem affinen Raum ${}E$ ist durch eine baryzentrische Kombination

$\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$

ein eindeutiger Punkt in ${}E$ definiert.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Dann gibt es für jeden Punkt ${}P\in E$ eine eindeutige baryzentrische Darstellung

${}P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,.$

Beweis

Es sei ${}i_{0}\in I$ fixiert. Es gibt dann in ${}V$ eine eindeutige Darstellung

${}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P}}=\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\,.$

Wir setzen

${}a_{i_{0}}:=1-\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}\,.$

Dann ist ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1$ und

${}{\begin{aligned}P&=P_{i_{0}}+{\overrightarrow {P_{i_{0}}P}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+a_{i_{0}}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}}+\sum _{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}\\&=P_{i_{0}}+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}}.\end{aligned}}$

Es gibt also eine solche Darstellung mit ${}P_{i_{0}}$ als Ursprung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die ${}a_{i}$, ${}i\neq i_{0}$, durch die eindeutig bestimmten Koeffizienten der Vektorraumbasis festgelegt sind und dass ${}a_{i_{0}}$ durch die baryzentrische Bedingung festgelegt ist.

$\Box$

Die Farben bei additiver Farbmischung mit den Primärfarben Rot, Blau und Grün (dies entspricht den drei Zapfen im menschlichen Auge). Da es für das Auge nur auf das Mischverhältnis der drei Farben ankommt, kann man sich auf Linearkombinationen ${}(r,g,b)$ mit ${}r+g+b=1$ (und nichtnegativen Koeffizienten) beschränken. Farben werden also durch baryzentrische Koordinaten beschrieben, dadurch spart man eine Dimension.

Definition

Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Dann nennt man die zu einem Punkt ${}P\in E$ eindeutig bestimmten Zahlen

$(a_{i},i\in I){\text{ mit }}\sum _{i\in I}a_{i}=1$

mit

${}P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,$

die baryzentrischen Koordinaten von ${}P$.

Beispiel

Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Dann besitzt der Punkt ${}P_{j}$ (${}j=I$) die baryzentrischen Koordinaten ${}(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$, wobei die ${}1$ an der ${}j$-ten Stelle steht (und ${}I$ als endlich und geordnet angenommen wird).