Affines Schema/Modul/Hauptmenge/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen -Modulhomomorphismus . Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung

und Elemente

mit gibt, die als Schnitte über

also als Elemente in übereinstimmen. Nach Fakt können wir annehmen, dass endlich ist. Ferner können wir die durch ihr Maximum ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler auch ändert). Die Verträglichkeit bedeutet die Existenz von Gleichungen

in , wobei wir als ein Maximum gewählt haben. Nach Fakt  ((2), (4)) erzeugen die , , das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die , , d.h. es gibt mit

Wir setzen

Es ist dann

Dies bedeutet wiederum in , d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.

Wir betrachten nun die Situation auf . Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man als neuen Modul ansetzt.