Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen
-Modulhomomorphismus
.
Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche
Fakt.
Zum Nachweis der Surjektivität sei
ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine
offene Überdeckung
-
und Elemente
-
mit
gibt, die als Schnitte über
-
also als Elemente in übereinstimmen. Nach
Fakt
können wir annehmen, dass endlich ist. Ferner können wir die durch ihr Maximum ersetzen
(was natürlich die lokalen Zähler auch ändert).
Die Verträglichkeit
bedeutet die Existenz von Gleichungen
-
in , wobei wir als ein Maximum gewählt haben. Nach
Fakt ((2), (4))
erzeugen die
, ,
das
Einheitsideal.
Dies gilt dann auch für die
, ,
d.h. es gibt
mit
-
Wir setzen
-
Es ist dann
Dies bedeutet wiederum
in , d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.
Wir betrachten nun die Situation auf . Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man als neuen Modul ansetzt.