Affines Schema/Moduln/Tensorprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}M_{f}\otimes _{R_{f}}N_{f}={\left(M\otimes _{R}N\right)}_{f}$. Wir betrachten die Prägarbe

$U\longmapsto \operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\otimes _{R_{f}}N_{f}=\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,{\left(M\otimes _{R}N\right)}_{f}.$

Die Vergarbung der rechten Seite ergibt nach Definition die quasikohärente Garbe ${}{\widetilde {M\otimes _{R}N}}$. Zu offenen Mengen ${}U\subseteq D(f)$ gibt es kanonische Modulhomomorphismen

$M_{f}\otimes _{R_{f}}N_{f}\longrightarrow {\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\right)}\otimes _{\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}\right)}{\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,N_{f}\right)},$

was zu einem Modulhomomorphismus

${\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\otimes _{R_{f}}N_{f}\right)}\longrightarrow {\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,M_{f}\right)}\otimes _{\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,R_{f}\right)}{\left(\operatorname {colim} _{U\subseteq D(f)}\,N_{f}\right)},$

für jede offene Menge führt. Diese sind mit den Restriktionen verträglich, so dass ein Prägarbenhomomorphismus vorliegt. Dieser überträgt sich nach Fakt  (1,5) auf die zugehörigen Garben. Nach der Vorbemerkung ist die Vergarbung links gleich ${}{\widetilde {M\otimes _{R}N}}$ und die Vergarbung der rechten Seite ist nach Definition gleich ${}{\widetilde {M}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\widetilde {N}}$. Da der Homomorphismus in den Halmen ein Isomorphismus ist, liegt nach Fakt überhaupt ein Isomorphismus vor.

Zur bewiesenen Aussage