Es sei die
Dimension
von , wir führen Induktion über . Bei
ist die Aussage klar. Zum Induktionsschluss sei
-
eine maximale Primidealkette in . Nach
Fakt
gibt es eine
endliche Erweiterung
-
Wir betrachten
-
Nach
Aufgabe
ist nicht das Nullideal. Würde es ein Primideal
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geben, so würde es dazu nach
Fakt
eine Primidealkette
-
geben, die darüber liegt, und dann wäre die Kette nicht maximal. Das bedeutet, dass die Höhe besitzt. Da der Polynomring
faktoriell
ist, ist
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ein Primhauptideal und somit ist nach
Fakt
die Dimension von gleich . Da die induzierte Abbildung
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ebenfalls endlich und injektiv ist, folgt nach
Fakt,
dass die Dimension von gleich ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt jede maximale Primidealkette in die Länge . Unsere Primidealkette induziert
(startend mit )
eine maximale Primidealkette in , also ist
-
und daher
.