Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Gleichlange Ketten/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Dimension von , wir führen Induktion über . Bei ist die Aussage klar. Zum Induktionsschluss sei

eine maximale Primidealkette in . Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung

Wir betrachten

Nach Aufgabe ist nicht das Nullideal. Würde es ein Primideal

geben, so würde es dazu nach Fakt eine Primidealkette

geben, die darüber liegt, und dann wäre die Kette nicht maximal. Das bedeutet, dass die Höhe besitzt. Da der Polynomring faktoriell ist, ist

ein Primhauptideal und somit ist nach Fakt die Dimension von gleich . Da die induzierte Abbildung

ebenfalls endlich und injektiv ist, folgt nach Fakt, dass die Dimension von gleich ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt jede maximale Primidealkette in die Länge . Unsere Primidealkette induziert (startend mit ) eine maximale Primidealkette in , also ist

und daher .