Es sei ein
-Vektorraum
über einem
Körper
. Die
natürliche
lineare Operation
der
allgemeinen linearen Gruppe
auf , also die Abbildung
-
induziert für jede Untergruppe
eine lineare Operation
-
Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der sind die
spezielle lineare Gruppe
(dazu muss
endlichdimensional
sein)
und alle endlichen Gruppen
(wenn die
Dimension
von hinreichend groß ist).
Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine
Bilinearform
(beispielsweise ein
Skalarprodukt
bei
oder
),
so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die
orthogonale Gruppe
und die eigentliche
Isometriegruppe
.