Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und sei

   $f\colon L\longrightarrow M$

   eine stetige Abbildung. Es sei ${}S\subseteq L$ eine zusammenhängende Teilmenge. Dann ist auch das Bild

   $f(S)$

   zusammenhängend.
2. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

   $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine Funktion. Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

   $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}$

   über die Beziehung ${}v_{i}:=y^{(i)}$ äquivalent zum Differentialgleichungssystem

   ${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$

3. Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen,

   $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine differenzierbare Funktion und

   $U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$

   das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

   $\varphi \colon J\longrightarrow U$

   eine Lösung der Differentialgleichung

   $v'=G(v).$

   Dann steht ${}\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\varphi (t)}F$ der Faser ${}F$ von ${}h$ durch ${}\varphi (t)$ für alle ${}t\in J$, für die ${}\varphi (t)$ reguläre Punkte

   von ${}h$ sind.

Zur gelösten Aufgabe