Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte ${}\left\langle -,-\right\rangle _{1}$ und ${}\left\langle -,-\right\rangle _{2}$ auf ${}V$ gegeben. Dann stimmen die über die zugehörigen Normen ${}\Vert {-}\Vert _{1}$ und ${}\Vert {-}\Vert _{2}$ definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge ${}U\subseteq V$ ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
2. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien ${}D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

   $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$

   Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle ${}D_{k}$ positiv sind.
   2. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.
3. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}M=f^{-1}(b)$ die Faser von ${}f$ über ${}b\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei

   $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion ${}h{|}_{M}$ besitze im Punkt ${}a\in M$ ein lokales Extremum auf ${}M$ und ${}a$ sei ein regulärer Punkt von ${}f$. Dann ist

   ${}T_{a}M\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,,$

   d.h. die Linearform ${}\left(Dh\right)_{a}$ verschwindet auf dem Tangentialraum

   an der Faser von ${}f$ durch ${}a$.

Zur gelösten Aufgabe