Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

  1. Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist .
    2. Mit gehört auch das Komplement zu .
    3. Für je zwei Mengen ist auch .
  2. Eine Schrumpfung von ist eine Folge von Teilmengen , , in mit für alle und mit .
  3. Für eine beliebige Teilmenge definiert man

    und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes .

  4. Der topologische Raum heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten zwei offene Mengen und gibt mit und .
  5. Es seien und die Atlanten von und . Die Abbildung

    heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle und alle die Abbildungen

    stetig differenzierbar sind.

  6. Es seien und die Atlanten von und . Dann nennt man den Produktraum versehen mit den Karten

    (mit und ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten und .

  7. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Atlas heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.
  8. Eine differenzierbare Differentialform auf heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ist.