Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Eine Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}$ erklärt ist, heißt ein Messraum.
2. Das Prämaß ${}\mu$ heißt ${}\sigma$-endlich, wenn man ${}M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen ${}M_{i}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit

   ${}\mu (M_{i})<\infty \,$

   schreiben kann.

3. Man nennt das durch

   ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}(T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n})\,$

   für ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ festgelegte Maß das Produktmaß auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.

4. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
5. Man nennt den ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ das ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$.
6. Eine ${}n$-Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   (mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

   ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

   die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

Zur gelösten Aufgabe