Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Unter der von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugten ${}\sigma$-Algebra versteht man die kleinste ${}\sigma$-Algebra, die ${}{\mathcal {E}}$ enthält.
2. Man nennt das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch

   $z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

   definierte Maß das Zählmaß auf ${}M$.

3. Ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

   ${}\mu (T)=\mu (T+v)\,$

   gilt.

4. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

   $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

   mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

   $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

   ${}C^{1}$-Diffeomorphismen für alle ${}i,j\in I$ sind, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.

5. Unter der Tangentialabbildung im Punkt ${}P$ versteht man die Abbildung

   $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ].$

6. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$

   eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

   ${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

   ist.

Zur gelösten Aufgabe