Angeordneter Körper/Vollständigkeit/Textabschnitt

Cauchy-Folgen

Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge ${}x_{n}$ (sagen wir zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$) mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in einem beliebigen angeordneten Körper betrachten, indem ${}{\sqrt {5}}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder an einen Grenzwert beliebig nahe streben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Satz

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann ist jede konvergente Folge

eine Cauchy-Folge.

Beweis

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die konvergente Folge mit Grenzwert ${}x$. Sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf ${}\epsilon /2$ an. Daher gibt es ein ${}n_{0}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon /2{\text{ für alle }}n\geq n_{0}.$

Für beliebige ${}n,m\geq n_{0}$ gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {x-x_{m}}\vert \leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \,.$

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.

Dann ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

Beweis

Es sei ${}b\in K$ eine obere Schranke, also ${}x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder ${}x_{n}$.  Wir nehmen an, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus Fakt. Somit gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für jedes ${}n_{0}$ ein ${}m>n_{0}$ mit ${}x_{m}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$ gibt (wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen). Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch ${}n_{0}=0$,

$n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$

$n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}k\epsilon >b-x_{0}$. Die Summe der ersten ${}k$ Differenzen der Teilfolge ${}x_{n_{j}}$, ${}j\in \mathbb {N}$, ergibt

${}{\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{0}&=(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}})+(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}})+\cdots +(x_{n_{2}}-x_{n_{1}})+(x_{n_{1}}-x_{n_{0}})\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{0}.\end{aligned}}$

  Dies impliziert ${}x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ${}b$ eine obere Schranke der Folge ist.

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Vollständig angeordneter Körper

Definition (Vollständig angeordneter Körper)

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert (also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).

Die reellen Zahlen sind ein vollständig und archimedisch angeordneter Körper. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle ${}\mathbb {R} _{1}$ und ${}\mathbb {R} _{2}$ gibt, die beide für sich genommen vollständig und archimedisch angeordnete Körper sind, so kann man eine bijektive Abbildung von ${}\mathbb {R} _{1}$ nach ${}\mathbb {R} _{2}$ angeben, der alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen Isomorphismus). Die Existenz der reellen Zahlen, also die Existenz eines vollständig und archimedisch angeordneter Körpers, ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt kann man die Vorstellung einer kontinuierlichen Zahlengerade zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von ${}\mathbb {Q}$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in ${}\mathbb {Q}$ mit einer geeigneten Identifizierung.

Statt von einem vollständig und archimedisch angeordneten Körper werden wir von nun an von den reellen Zahlen sprechen. Als Beweismittel sind aber lediglich die genannten Axiome erlaubt.

Satz

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen

besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$.

Beweis

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R}$ eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei ${}x_{0}\in M$ und ${}y_{0}$ eine obere Schranke für ${}M$, d.h. es ist ${}x\leq y_{0}$ für alle ${}x\in M$. Wir konstruieren zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, wobei ${}x_{n}\in M$ wachsend, ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist und jedes ${}y_{n}$ eine obere Schranke von ${}M$ ist (sodass insbesondere ${}x_{n}\leq y_{n}$ für alle ${}n$ ist), und so, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis ${}n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen

$x_{n+1}:={\begin{cases}x_{n},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\{\text{ein beliebiger Punkt aus }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

und

$y_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},\,{\text{ falls }}[{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}},y_{n}]\cap M=\emptyset \,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Dies erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist

$y_{n}-x_{n}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}(y_{0}-x_{0}),$

da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend und nach oben beschränkt ist, handelt es sich nach Fakt um eine Cauchy-Folge. Wegen der Vollständigkeit besitzt die konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einen Grenzwert ${}x$. Ebenso ist die fallende Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die nach unten beschränkt ist, eine Cauchy-Folge mit demselben Grenzwert ${}x$.  Wir behaupten, dass dieses ${}x$ das Supremum von ${}M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass ${}x$ eine obere Schranke von ${}M$ ist.  Es sei dazu ${}z>x$ angenommen für ein ${}z\in M$. Da die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein ${}n$ mit

${}x\leq y_{n}<z\,$

im Widerspruch dazu, dass jedes ${}y_{n}$ eine obere Schranke von ${}M$ ist.
 Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass ${}x$ kleiner oder gleich jeder oberen Schranke von ${}M$ ist. Es sei dazu ${}u$ eine obere Schranke von ${}M$ und  nehmen wir an, dass ${}x>u$ ist. Da ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert, gibt es wieder ein ${}n$ mit

$u<x_{n}\leq x$

im Widerspruch dazu, dass ${}u$ eine obere Schranke ist. Also liegt wirklich das Supremum vor.

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