Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbrüche/Approximation/Textabschnitt
Eine wichtige Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen war, beliebige Längen, die beispielsweise bei der gleichmäßigen Unterteilung einer gegebenen Strecke auftreten, möglichst gut messen zu können. Dies können wir erst dann präzise formulieren, wenn wir die reellen Zahlen zur Verfügung haben. Die folgende Aussage zeigt, dass man rationale Zahlen selbst schon beliebig gut mit Dezimalbrüchen approximieren (annähern) kann. Wenn es also nur darum geht, beliebige Längen approximativ zu beschreiben, so sind die Dezimalbrüche genauso gut wie die deutlich größere Menge aller rationalen Zahlen.
Lemma
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Dann gibt es zu jedem und jedem
ein eindeutig bestimmtes derart, dass
gilt.
D.h., dass man jedes Element des Körpers beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.
Beweis
In diesem Lemma gibt das über die Potenz vor, wie groß der Fehler sein darf. Man sagt dann auch, dass die Approximation bis zur -ten Nachkommaziffer genau ist. Das Lemma ist insbesondere für rationale Zahlen anwendbar.
Es sei . Wenn man beispielsweise einen Taschenrechner mit acht Nachkommastellen hat, so ergibt sich zu die Zahl als Ergebnis, wenn man eingibt und das Komma in der Darstellung ignoriert.
Bemerkung
Für eine rationale Zahl
und ein gegebenes kann man die approximierenden Dezimalbrüche, die es nach Fakt geben muss, folgendermaßen finden. Man berechnet und führt die Division mit Rest durch durch, wobei sich die Darstellung
mit einem Rest zwischen und ergibt. Es ist dann
und daher
Beispiel
Wir wenden Fakt bzw. Bemerkung auf mit an. Es ist
es ist also in die Division mit Rest von durch durchzuführen. Es ist
(wobei der Rest im jetzigen Kontext nicht weiter verarbeitet wird). Es ist also
und mit Division durch ergibt sich
Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches mit einem Fehler, der kleiner als ist.
Mit der Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalzahlen geht die Dezimalrundung einher. Bei der Rundung auf eine ganze Zahl schaut man einfach nach der ganzzahligen Approximation im Sinne von Fakt und nimmt von der unteren und der oberen Approximation diejenige, die näher ist (wobei man bei gleichem Abstand aufrundet). Bei der Dezimalrundung von zur Stellenanzahl (bzw. zur Genauigkeit ) führt man dies für die Nenner bzw. in der Approximation aus Fakt durch. Die Zahl ist beispielsweise auf zwei Nachkommastellen gerundet gleich . Häufig finden sich auch Rundungsangaben von der Form .
