Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Analysis III/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ eine Menge und ${}H\subseteq {\mathbb {K} }^{X}$ ein Untervektorraum des Abbildungsraumes von ${}X$ nach ${}{\mathbb {K} }$, der ein Hilbertraum ist. Man nennt ${}H$ kernreproduzierend, wenn für jeden Punkt ${}x\in X$ die Auswertung

$E_{x}\colon H\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$

stetig ist.

Nach Fakt lässt sich die Auswertung ${}E_{x}$, die eine stetige Linearform ist, durch einen Gradienten ${}K_{x}$ realisieren, in dem Sinne, dass

${}f(x)=\left\langle f,K_{x}\right\rangle \,$

für alle ${}f\in H$ gilt. Man definiert auf ${}X\times X$ die Kernfunktion

$K\colon X\times X\longrightarrow {\mathbb {K} }$

durch

${}K(x,y)=K_{y}(x)\,.$