Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Definitheit/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wenn die Bilinearform positiv definit ist, so ist nach Fakt das Vorzeichen der Determinante der Gramschen Matrix gleich ${}(-1)^{0}=1$, also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume ${}U_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.
Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus Fakt, dass die Bilinearform positiv definit ist.

(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also ${}-\left\langle -,-\right\rangle$, betrachtet.

Zur bewiesenen Aussage