Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt/Beweis

Beweis

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ${}0$ ist, ist nach Aufgabe die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form ${}(n-q,q)$. Wir müssen zeigen, dass ${}q=a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von ${}V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension ${}n-1$ bewiesen und es liege ein ${}n$-dimensionaler Raum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

${}U=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle \,$

hat die Dimension ${}n-1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

${}D_{n}=\det M_{n}=\det G\,$

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ den Typ ${}(n-1-b,b)$, wobei ${}b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1},\ldots ,D_{n-1}$

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

${}b\leq q\leq b+1\,,$

da ein ${}q$-dimensionaler Untervektorraum ${}W\subseteq V$, auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

${}W'=U\cap W\subseteq U\,$

führt, der die Dimension ${}q$ oder ${}q-1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ist das Vorzeichen von ${}D_{n-1}$ gleich ${}(-1)^{b}$ und das Vorzeichen von ${}D_{n}$ gleich ${}(-1)^{q}$. Das bedeutet, dass zwischen ${}D_{n-1}$ und ${}D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ${}a=b+1$) genau dann vorliegt, wenn

${}q=b+1\,$

ist.

Zur bewiesenen Aussage