Bilinearform/Vektorraum/Textabschnitt

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über einem Körper ${}K$ und seien ${}\Psi _{1}$ und ${}\Psi _{2}$ Bilinearformen auf ${}V$. Dann erklärt man die Summe dieser beiden Bilinearformen punktweise als diejenige Bilinearform, die an der Stelle ${}(u,v)$ den Summenwert erhält, also

${}(\Psi _{1}+\Psi _{2})(u,v):=\Psi _{1}(u,v)+\Psi _{2}(u,v)\,.$

Entsprechend definiert man für einen Skalar ${}c\in K$ die Form ${}c\Psi$ durch

${}(c\Psi )(u,v)=c\Psi (u,v)\,.$

Die entstehenden Funktionen sind wieder bilinear, siehe Aufgabe. Damit erhält man eine Vektorraumstruktur auf der Menge aller Bilinearformen auf ${}V$.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über dem Körper ${}K$. Die Menge aller Bilinearformen auf ${}V$, versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, heißt Vektorraum der Bilinearformen. Er wird mit ${}\operatorname {Bilin} _{}{\left(V\right)}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum.

Zu einer jeden Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist die Abbildung

$\operatorname {Bilin} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,\Psi \longmapsto G_{\mathfrak {v}}(\Psi ),$

die einer Bilinearform ${}\Psi$ ihre Gramsche Matrix bezüglich der gegebenen Matrix zuordnet, eine Isomorphie von Vektorräumen.

Beweis

Die Injektivität der Abbildung folgt aus Fakt, die Surjektivität daraus, dass man eine beliebige Matrix im Sinne von Beispiel als Bilinearform interpretieren kann. Die Linearität folgt unmittelbar aus der punktweisen Definition der Vektorraumstruktur auf ${}\operatorname {Bilin} _{}{\left(V\right)}$.

$\Box$