Cech-Kohomologie/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Für eine Teilmenge ${}J\subseteq I$ setzen wir ${}U_{J}:=\bigcap _{i\in J}U_{i}$. Für ${}J\subseteq L\subseteq I$ ist ${}U_{L}\subseteq U_{J}$. Für eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen auf ${}X$ betrachtet man die Auswertungen ${}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ zu den verschiedenen ${}J$, und zu ${}J\subseteq L$ gehören die Restriktionen ${}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U_{L}\right)}$. Für ein Element ${}s\in {\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}$ schreiben wir dann abkürzend

${}s{|}_{L}=s{|}_{U_{L}}\,$

und oft häufig einfach ${}s$. Wir fixieren eine Wohlordnung auf ${}I$ (man braucht hauptsächlich den Fall für endliches ${}I$). Damit können wir nun den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist.

Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zu ${}k\in \mathbb {N}$ setzt man

${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{\left\{J\mid {\#\left(J\right)}=k+1\right\}}{\mathcal {G}}{\left(U_{J}\right)}\,$

und definiert Gruppenhomomorphismen

$\delta _{k}\colon {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {C}}^{k+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),\,s={\left(s_{J}\right)}_{J}\longmapsto \delta _{k}(s)={\left(\delta _{k}(s)_{L}\right)}_{L},$

durch

${}{\left(\delta _{k}(s)\right)}_{L}=\sum _{\ell =0}^{k+1}(-1)^{\ell }s{|}_{L\setminus \{i_{\ell }\}}\,,$

wobei man ${}L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k+1}\}$ gemäß der Ordnung auf ${}I$ schreibt. Der Komplex

${}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\left({\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}}),k\geq 0,\,\delta _{k}\right)}\,$

heißt Čech-Komplex (zur Garbe ${}{\mathcal {G}}$ und zur Überdeckung).

Bei ${}k=0$ ist

${}{\check {C}}^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})=\prod _{i\in I}{\mathcal {G}}{\left(U_{i}\right)}\,$

und bei ${}k={\#\left(I\right)}$ ist

${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})={\mathcal {G}}{\left(\bigcap _{i\in I}U_{i}\right)}\,.$

Wenn ${}k>{\#\left(I\right)}$ ist, so ist die Indexmenge zu ${}{\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ leer und dieser Term ist einfach ${}0$. Ebenso setzt man für negatives ${}k$ den Komplex gleich ${}0$. Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen ${}U$ und ${}V$ ist der Komplex gleich

$0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0$

und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen ${}U,V$ und ${}W$ ist der Komplex gleich

$0\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U\cap V\cap W,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow 0.$

Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen ${}U_{1},U_{2},U_{3}$ zu arbeiten.

Die Elemente des ${}k$-ten Kernes nennt man auch Čech-Kozykel, die Elemente des ${}k$-ten Bildes auch Čech-Koränder.

Lemma

Der Čech-Komplex

ist in der Tat ein Komplex.

Beweis

Es sei ${}{\left(s_{J}\right)}_{J}\in {\check {C}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ ein Tupel. Dann ist für die fixierte Indexmenge ${}L=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k},i_{k+1},i_{k+2}\}$

${}{\begin{aligned}(\delta (\delta s))_{L}&=\sum _{p=0}^{k+2}(-1)^{p}(\delta s){|}_{L\setminus \{i_{p}\}}\\&=\sum _{p=0}^{k+2}(-1)^{p}{\left(\sum _{q=0}^{p-1}(-1)^{q}s{|}_{(L\setminus \{i_{p}\})\setminus \{i_{q}\}}+\sum _{q=p+1}^{k+1}(-1)^{q+1}s{|}_{(L\setminus \{i_{p}\})\setminus \{i_{q}\}}\right)}\\&=\sum _{\{i_{p},i_{q}\}\subseteq J}(-1)^{p+q}{\left(s{|}_{L\setminus \{i_{p},i_{q}\}}-s{|}_{L\setminus \{i_{p},i_{q}\}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

Man beachte, dass das Vorzeichen in der Klammer von der Position von ${}i_{q}$ in ${}L\setminus \{i_{p}\}$ abhängt.

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Definition

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ${}{\mathcal {U}}$ eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zu ${}k\in \mathbb {N}$ definiert man die ${}k$-te Čech-Kohomologie ${}{\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$ als die ${}k$-te Homologie des Čech-Komplexes ${}{\check {C}}^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})$.

Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der ${}k$-ten Čech-Kohomologie nennt man auch Čech-Kohomologieklasse. Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich ${}{\mathcal {G}}{\left(X\right)}$, wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe Aufgabe.