Charaktere/Monoid und Gruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}G$ ein Monoid und ${}K$ ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

$\chi \colon G\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot )$

ein Charakter von ${}G$ in ${}K$.

Die Menge der Charaktere von ${}G$ nach ${}K$ bezeichnen wir mit ${}\operatorname {Char} \,(G,K)$. Mit dem trivialen Charakter (also der konstanten Abbildung nach ${}1$) und der Verknüpfung

${}{\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(g):=\chi _{1}(g)\cdot \chi _{2}(g)\,$

ist ${}\operatorname {Char} \,(G,K)$ selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von ${}G$ nach ${}K^{\times }$. Da es zu jedem Charakter den inversen Charakter ${}\chi ^{-1}$ gibt, der durch

${}\chi ^{-1}(g)=(\chi (g))^{-1}\,$

definiert ist, bildet ${}\operatorname {Char} \,(G,K)$ sogar eine kommutative Gruppe(siehe unten).

Definition

Es sei ${}G$ ein Gruppe und ${}K$ ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

${}G^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(G,K)={\left\{\chi :G\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$

die Charaktergruppe von ${}G$ (in ${}K$).

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe, ${}K$ ein Körper und ${}G^{\vee }=\operatorname {Char} \,(G,K)$ die Charaktergruppe zu ${}G$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}G^{\vee }$ ist eine kommutative Gruppe.
2. Bei einer direkten Gruppenzerlegung ${}G=G_{1}\times G_{2}$ ist ${}(G_{1}\times G_{2})^{\vee }=G_{1}^{\vee }\times G_{2}^{\vee }$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$, und es sei ${}K$ ein Körper, der eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel besitzt.

Dann sind ${}G$ und ${}G^{\vee }$ isomorphe Gruppen.

Beweis

Nach Fakt  (2) und Fakt kann man annehmen, dass ${}G=\mathbb {Z} /(n)$ eine endliche zyklische Gruppe ist, und dass ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow K^{\times }$

ist durch ${}\zeta =\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, und wegen

${}\zeta ^{n}=(\varphi (1))^{n}=\varphi (n)=\varphi (0)=1\,$

ist ${}\zeta$ eine ${}n$-te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder ${}n$-ten Einheitswurzel ${}\zeta$ durch die Zuordnung ${}1\mapsto \zeta$ nach Fakt und Fakt einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Z} /(n)$ nach ${}K^{\times }$ definieren. Die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$. Also gibt es ${}n$ solche Homomorphismen. Wenn ${}\zeta$ eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch ${}1\mapsto \zeta$ festgelegte Homomorphismus die Ordnung ${}n$ und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$.

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