Dedekind-Peano-Axiome/Zählen/Induktionsprinzip/Geradenkonfiguration/Textabschnitt

Die natürlichen Zahlen sind dadurch ausgezeichnet, dass man jede natürliche Zahl ausgehend von der ${}0$ durch den Zählprozess (das sukzessive Nachfolgernehmen) erreichen kann. Daher können mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion bewiesen werden. Das folgende Beispiel soll an dieses Argumentationsschema heranführen. Um dieses Beweisprinzip anhand von substantiellem Material demonstrieren zu können, greifen wir etwas vor und setzen die Addition, die Multiplikation und die Größergleichrelation von natürlichen Zahlen voraus.

Beispiel

Wir betrachten in der Ebene ${}E$ eine Konfiguration von ${}n$ Geraden und fragen uns, was die maximale Anzahl an Schnittpunkten ist, die eine solche Konfiguration haben kann. Dabei ist es egal, ob wir uns die Ebene als einen ${}\mathbb {R} ^{2}$ (eine kartesische Ebene mit Koordinaten) oder einfach elementargeometrisch vorstellen, wichtig ist im Moment allein, dass sich zwei Geraden in genau einem Punkt schneiden können oder aber parallel sein können. Wenn ${}n$ klein ist, so findet man relativ schnell die Antwort.

${}n$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}n$
${}S(n)$	${}0$	${}0$	${}1$	${}3$	${}6$	${}?$	${}?$

Doch schon bei etwas größerem ${}n$ (${}n=5,10,\ldots$?) kann man ins Grübeln kommen, da man sich die Situation irgendwann nicht mehr präzise vorstellen kann. Aus einer präzisen Vorstellung wird eine Vorstellung von vielen Geraden mit vielen Schnittpunkten, woraus man aber keine exakte Anzahl der Schnittpunkte ablesen kann. Ein sinnvoller Ansatz zum Verständnis des Problems ist es, sich zu fragen, was eigentlich passiert, wenn eine neue Gerade hinzukommt, wenn also aus ${}n$ Geraden ${}n+1$ Geraden werden. Angenommen, man weiß aus irgendeinem Grund, was die maximale Anzahl der Schnittpunkte bei ${}n$ Geraden ist, im besten Fall hat man dafür eine Formel. Wenn man dann versteht, wie viele neue Schnittpunkte maximal bei der Hinzunahme von einer neuen Geraden hinzukommen, so weiß man, wie die Anzahl der maximalen Schnittpunkte von ${}n+1$ Geraden lautet.

Dieser Übergang ist in der Tat einfach zu verstehen. Die neue Gerade kann höchstens jede der ${}n$ alten Geraden in genau einem Punkt schneiden, deshalb kommen höchstens ${}n$ neue Schnittpunkte hinzu. Wenn man die neue Gerade so wählt, dass sie zu keiner der gegebenen Geraden parallel ist (was möglich ist, da es unendlich viele Richtungen gibt) und ferner so wählt, dass die neuen Schnittpunkte von den schon gegebenen Schnittpunkten der Konfiguration verschieden sind (was man erreichen kann, indem man die neue Gerade parallel verschiebt, um den alten Schnittpunkten auszuweichen), so erhält man genau ${}n$ neue Schnittpunkte. Von daher ergibt sich die (vorläufige) Formel

${}S(n+1)=1+2+3+\cdots +n-2+n-1+n\,$

bzw.

${}S(n)=1+2+3+\cdots +n-3+n-2+n-1\,,$

also einfach die Summe der ersten ${}n-1$ natürlichen Zahlen.

Im vorstehenden Beispiel liegt eine Summe vor, wobei die Anzahl der Summanden selbst variieren kann. Für eine solche Situation ist das Summenzeichen sinnvoll. Für gegebene reelle Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ bedeutet

${}\sum _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}\,.$

Dabei hängen im Allgemeinen die ${}a_{k}$ in einer formelhaften Weise von ${}k$ ab, beispielsweise ist im Beispiel ${}a_{k}=k$, es könnte aber auch etwas wie ${}a_{k}=2k+1$ oder ${}a_{k}=k^{2}$ vorliegen. Der ${}k$-te Summand der Summe ist jedenfalls ${}a_{k}$, dabei nennt man ${}k$ den Index des Summanden. Entsprechend ist das Produktzeichen definiert, nämlich durch

${}\prod _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}\cdot a_{2}{\cdots }a_{n-1}\cdot a_{n}\,.$

Beispiel

Wir möchten für die Summe der ersten ${}n$ Zahlen, die die maximale Anzahl der Schnittpunkte in einer Konfiguration aus ${}n+1$ Geraden angibt, eine einfachere Formel angeben. Und zwar behaupten wir, dass

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Für kleinere Zahlen ${}n$ stimmt dies aus dem einfachen Grund, dass links und rechts dasselbe herauskommt. Um die Gleichung allgemein zu beweisen, überlegen wir uns, was links und was rechts passiert, wenn wir das ${}n$ um ${}1$ erhöhen, so wie wir in Beispiel die Geradenkonfiguration um eine zusätzliche Gerade verkompliziert haben. Auf der linken Seite kommt einfach der zusätzliche Summand ${}n+1$ hinzu. Auf der rechten Seite haben wir den Übergang von ${}{\frac {n(n+1)}{2}}$ nach ${}{\frac {(n+1)(n+1+1)}{2}}$. Wenn wir zeigen können, dass die Differenz zwischen diesen beiden Brüchen ebenfalls ${}n+1$ ist, so verhält sich die rechte Seite genauso wie die linke Seite. Dann kann man so schließen: die Gleichung gilt für die kleinen ${}n$, etwa für ${}n=1$. Durch den Differenzenvergleich gilt es auch für das nächste ${}n$, also für ${}n=2$, durch den Differenzenvergleich gilt es für das nächste ${}n$, u.s.w. Da dieses Argument immer funktioniert, und da man jede natürliche Zahl irgendwann durch sukzessives Nachfolgernehmen erreicht, gilt die Formel für jede natürliche Zahl.

Eine Visualisierung des Induktionsprinzips. Wenn die Steine nah beieinander stehen und der erste umgestoßen wird, so fallen alle Steine um.

Die folgende Aussage begründet das Prinzip der vollständigen Induktion ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen. Wir schreiben ${}n+1$ für den Nachfolger von ${}n$.

Satz

Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte

1. ${}A(0)$ ist wahr.
2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.

Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.

Beweis

Es sei

${}M={\left\{n\in \mathbb {N} \mid A(n){\text{ ist wahr}}\right\}}\,.$

Wir wollen zeigen, dass ${}M=\mathbb {N}$ ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle ${}n$ gilt. Nach der ersten Bedingung ist

${}0\in M\,.$

Nach der zweiten Voraussetzung gilt für ${}M$, dass aus ${}n\in M$ stets ${}n+1\in M$ folgt. Damit erfüllt ${}M$ beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, so dass ${}M=\mathbb {N}$ gilt.

$\Box$

Der Nachweis von (der Gültigkeit von) ${}A(0)$ heißt dabei der Induktionsanfang und der Schluss von ${}A(n)$ auf ${}A(n+1)$ heißt der Induktionsschluss oder Induktionsschritt. Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von ${}A(n)$ auch die Induktionsvoraussetzung. In manchen Situationen ist die Aussage ${}A(n)$ erst für ${}n\geq n_{0}$ für ein gewisses ${}n_{0}$ (definiert oder) wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage ${}A(n_{0})$ und den Induktionsschritt führt man für alle ${}n\geq n_{0}$ durch.

Wir begründen nun die Gleichheit

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

mit dem Induktionsprinzip.

Beim Induktionsanfang ist ${}n=1$, daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der ${}1$, und daher ist die Summe ${}1$. Die rechte Seite ist ${}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1$, so dass die Formel für ${}n=1$ stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein ${}n\geq 1$ gilt, und müssen zeigen, dass sie dann auch für ${}n+1$ gilt. Dabei ist ${}n$ beliebig. Es ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k&={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}+n+1\\&={\frac {n(n+1)}{2}}+n+1\\&={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}\\&={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}.\end{aligned}}$

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für ${}n+1$, also ist die Formel bewiesen.

Aussagen, die durch Induktion bewiesen werden können, können manchmal auch auf andere Art bewiesen werden, siehe beispielsweise Aufgabe.